Los dos cuadrados de Fermat

Casi todos los procesos de factorización de números enteros,y mé-
todos empleados en criptografía , toman como base dos cuadrados.

[( x + y) /2 ] ² ; [ ( x - y) /2 ] ²

A dichos cuadrados se les conoce bajo en el nombre de "cuadrados
de Fermat" , ya que fué éste quien les dió a conocer en su sistema
de factorización.
El presente trabajo tiene como objeto principal,conocer la relación
entre los citados cuadrados y otros dos cuadrados conocidos :

[ ( N + 1 ) /2 ] ² ; [ ( N - 1 ) / 2 ] ² , en los que N = x . y

El resumen de nuestro trabajo está contenido en las siguientes :

Propiedades de los cuadrados de Fermat

1).-Dado un número , N , entero , positivo , impar , no múltiplo de
3 ni de 5 , ya que esta condición se aprecia a simple vista , cuyos
factores son "x" "y" , la diferencia entre el cuadrado de la semi-su-
ma de "N+1" y el cuadrado de la semi-suma de sus factores es con-
gruente "cero" , módulo 144.
[(N+1)/2 ] ² - [ ( x + y)/2 ] ² ≡ 0 ( módulo 144 )

2).-Relativo a dicho número , la diferencia entre el cuadrado de la
semi-resta de ( N - 1) y el cuadrado de la semi-resta de sus facto-
res es congruente cero , módulo 144.
[(N-1)/2] ² - [ ( x - y)/2] ² ≡ 0 ( módulo 144 )

3).-La condición suficiente para que un número N,par,positivo,sea
suma de dos cuadrados, es que el producto de las bases de dichos
factores , elevadas al cuadrado , más la unidad ,sea congruente en
dicho valor de N ( módulo 192 )

En nuestra demostración partimos de "N", como hemos dicho , en-
tero , positivo . compuesto , no múltiplo de 3 ni de 5 , impar ,
N = x . y ; ( N+1)² ─ (x . y ) ² = 4 D ,después del correspondiente
desarrollo ,
(N+1)² ─(x+y)² = 4 D = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)

En un principio hemos de precisar que N, puede estar encuadrada
en uno de estos 3 grupos .

Grupo 1
N ≡ ± 3 ( módulo 8 )

Grupo 2
N ≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 1 ( módulo 8 )

Grupo 3
N≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 3 ( módulo 8)

Habíamos dejado nuestro estudio en:
(N+1)² ─ (x + y) ² = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)

Si "N" pertenece al Grupo 3º :
Si (x-1) no es múltiplo de 4, lo será (x+1) , o viceversa.
Si (y-1) no es múltiplo de 4 , lo será (y+1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4 d .2e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 16 )

Si "N" pertenece al Grupo 1 :
Si (x+1) no es múltiplo de 8 , lo será (x-1), o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 8 , lo será (y-1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4d .2e .2f ) :4 ,que es
≡ 0 ( módulo 32 )

Si "N" pertenece al Grupo 2 :
Si (x+1) no es múltiplo de 16 , lo será (x-1) , o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 16 , lo será (y-1) , o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (8c. 2d . 8e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 64 )

Por otra parte, como ni "x" ni "y" son múltiplos de "3" :
Si (x+1) es múltiplo de 3 , (x-1) no lo será.
Si (y+1) es múltiplo de 3 , (y-1) no lo será.
o viceversa en ambas.

Conclusión :

a) Si "N" es del Grupo 3 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1): 4 ≡ 0 ( módulo 144 )

b) Si "N" es del Grupo 1 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 288 )

c) Si "N" es del Grupo 2 :
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 576 )

Con esto queda demostrada la primera propiedad . Siguiendo el
mismo procedimiento quedaría demostrada la segunda propie-
dad , relativa a:
[( N-1)/2]² ─ [(x-y)/2]²

En cuanto a la demostración de la tercera propiedad, es una con-
secuencia de la primera ,
(N+1)²─ (x + y )² = 576 a
( x . y ) ─ 576 a + 1 = x² + y ²
esto sería válido para todo "N",positivo,compuesto,en el que nin-
guno de sus factores es múltiplo de 3.

Para generalizarlo a todo "N" , par, quedaría :

( x . y ) ² ─ 192 a + 1 = N , o lo que es lo mismo ,
[(x . y ) ² + 1 ] ≡ ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )

Sumas de cuadrados.-Condiciones

No todo número puede ser representado como suma de dos cuadra-
dos.
Pierre de Fermat (1601 -1665) ,conocido como el padre de la Teoría
de números, en carta de 25 de diciembre de 1640 , dirigida a Marin
Mersenne, fraile franciscano,enunció el teorema que afirmaba que
un número primo de la forma 4 n+1 , puede expresarse de una ma-
nera como suma de dos cuadrados. Añadía que si un número primo ,
que es suma de dos cuadrados, se multiplica por otro número primo,
que también es suma de dos cuadrados , el producto sería la suma
de dos cuadrados de dos formas distintas.

Fermat también afirmó,que ningún primo de la forma 4 n + 3 ,puede
expresarse como suma de dos cuadrados.
Existe un fórmula sencilla , ya usada por Diofanto:

(a² + b²) (c² + d²) = (a c+b d) ²+(a d-b c) ² = (a c-b d) ²+(a d+b c)²
que permite observar que el producto de dos números que son su-
ma de dos cuadrados , es también suma de dos cuadrados.

Entre otros matemáticos que estudiaron este problema , podemos
citar a Bachet ,en sus comentarios al Libro de Diofanto , François
Viète y Albert Girad ( 1595 - 1612 ).
Este último afirmaba,que un número es suma de dos cuadrados , si
es un cuadrado,o es el 2, o es 1 más múltiplo de 4, ó un producto de
tales números.
En nuestro estudio,hacemos referencia a todo número N , entero ,
positivo,impar,no múltiplo de un cuadrado, ni múltiplo de 3 .
Pueden ser primos o compuestos.Los números múltiplos de cuadra-
do se dividirán por estas cifras tantas veces como lo permita el nú-
mero ,hasta obtener el número N, válido para el estudio.
Al final del estudio , se tendrá en cuenta esta simplificación.

Condiciones necesarias y suficientes para que un número
sea suma de dos cuadrados.

Como sabemos , la condición necesaria pero no suficiente , es que ,
"N" sea congruente la unidad , módulo 4.

Teorema
Como condiciones necesarias y suficientes citaré aquellas en las que
se fundamenta el presente teorema, y que más adelante justifico :

a).-Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un resto cuadrático R
módulo el citado N , tiene que existir otra pareja de cuadrados, que
genere como resto (N-R).

b).-Para que"N"sea igual a la suma de dos cuadrados,es preciso que
"N"sea igual a la suma de dos cuadrados consecutivos , más el doble
del producto de dos números consecutivos.
N = e ² + ( e + 1 ) ² + 2 f ( f + 1 )

c).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos ,sea congruente la uni-
dad módulo N.
g ² + ( g + 1 ) ² + ( g + 2 ) ² + ( g + 3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )
Podemos citar 2 condiciones necesarias y suficientes,que tienen su
fundamento en las arriba citadas.

d)Igualmente será condición necesaria y suficiente , que (N+1) sea
igual a la suma de 4 cuadrados consecutivos , más 16 veces el pro-
ducto de dos determinados números consecutivos.
N+ 1 = [ (a-3)/2]²+ [(a-1)/2]² + [( a+ 1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+16 t ( t+1)

e).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos pares, sea congruente
16,módulo N.
h ² + ( h +2 ) ²+ ( h + 4 ) ²+ ( h + 6 ) ² ≡ 16 ( módulo N )
A continuación vamos a justificar el por qué de las citadas condicio-
nes .

Justificación A

Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un residuo cuadrático R ,
módulo el citado N,tiene que existir al menos otra pareja de cuadra-
dos que genere el resto N-R.
Creemos que esta condición está suficientemente justificada ,y con
argumentos diversos.Citaremos uno :

N = a ² + b ² a ² = R b ² = N - R
otro cualquier resto cuadrático , f ² ≡ R (2) ( módulo N )
Teniendo en cuenta una de las propiedades de los restos cuadráticos,
el producto de multiplicar dos restos , genera otro resto .
Luego tiene que existir un resto "r",que multiplicado por "R", genere
como resto R(2).
R . r ≡ R(2) ( módulo N ).- Siendo esto así ,
(N -R) . r ≡ [(N - R(2) )] ( módulo N )
Conociendo el cuadrado que da como resto N-1,es fácil determinar
cualquier cuadrado que proporcione el resto (N-R)

Ejemplo :

N = 3977 = a ² + b ² = 61 ² + 16 ² = 29 ² + 56 ²
C ² ≡ ( N - 1) ( mód. N ) ; C = ( d N - b ) / a ; C = (3977 d - 61)/16 .
resolvemos la ecuación diofántica , d = 5 , C = 1239
1239 ² ≡ 3976 ( módulo 3977 ) ; K ² ≡ R ( módulo N )

K ² ≡ ( N - R ) ( módulo N )

Justificación B

N = e ² + ( e+ 1 ) ² + 2 f ( f + 1 ) ; N = a ² + b ² ; a > b;
e = ( a + b - 1)/2 ; f = a - e - 1 = e . b
N = e ² +( e + 1) ² + 2 f ( f + 1) =
= [(a+b+1)/ 2] ² + [ ( a + b - 1)/2 ] ² + [ ( a - b)² - 1 ]/2

Esto es fácilmente demostrable,
[ ( a + b+ 1)/2 ] ² + [(a + b -1)/2] ² = [( a + b )² + 1 ] / 2

la diferencia entre,
a ² + b ² - [( a + b) ² + 1]/2 = [( a - b) ² -1]/ 2 ,
y como quiera que ,
( a - b) ² - 1 = ( a - b + 1) ( a -b - 1 )
[( a - b) ² - 1 ]/2 es igual al producto de multiplicar 2 , por
dos números consecutivos.

Ejemplo :

N = 12.719.837 = 2348 ² + 2347 ² + (2 × 921 × 922)
127.198.837 = (2348 + 921)² + (2347 - 921) ² =

N = 12.719.837 = 3269 ² + 1426 ²

Justificación C

Esto hace referencia a :
g² + ( g+1 ) ² + (g+2 ) ² + (g+3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )

g = [ ( N - 2 C - 3) ]/2 ; C ² ≡ (N-1 ) ( módulo N )
g² = [(g-3)/2]²+ [(g-1)/2]² + [(g+1)/2]² +[(g+3)/2]² ─ 5

Ejemplo :

359 ² = 178² + 179 ² + 180 ² + 181 ² ─ 5
[(g- 3)/2]² + [(g-1)/2]²+ [(g+1)/2]²+[(g+3)/2]² ─ 5 = g²
Por otra parte, si consideramos que :
C ² ≡ ( N -1 ) ( módulo N); C ² ≡ - 1 ( módulo N )
( 2 C ) ² ≡ ( N - 1) ( mód . N ) ; 2 C = par ; ( n - 2 C )= impar
[(N - 2 C - 3)/2]² + [(N-2 C - 1)/2]² + [(N-2 C + 1)/2]² +
+ [(N- 2 C + 3 )/2] ² ─ 5 ≡ -4 ( módulo N )
la suma de los 4 cuadrados es congruente más uno , módulo N.

Justificación E

Esta decía :
h² + (h+ 2)² + (h+4)² + (h+6)² ≡ 16 ( módulo N ) ; h = C - 3
Si multiplicamos por 2 ² , la ecuación de la condición C ,llegaría-
mos a :
(2g + 6) ² = g ² + (g+2) ² + (g+4) ²+(g+6) ² ─ 20

Ejemplo :

718 ² = 356 ² + 358 ² + 360² + 362² + 20 ,
para (2g+6) ≡ 2 ( módulo 4 )
Recordemos que tiene que existir un cuadrado :
( 2 g + 6 ) ² ≡ - 4 ( módulo N )
(2 h + 6)² = h ² + (h+2) ² + ( h+4 ) ² + (h+6 ) ² ≡ 16 ( mód.N)

N = 3977; 1239 ² ≡ - 1 ( mod.3977 ) ; 2478 ² ≡ - 4 ( mód.3977)
1236² + 1238²+1240²+1242² ≡ 16 ( módulo 3977 )

Justificación D

N+ 1= [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [a+1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+ 16 t ( t + 1) ; t = ( b - 2) /4

N = a ² +b ² ; N ≡ - 3 ( módulo 8) ≡ 1 ( módulo 4 ) ;
a> 1 ; b> 1 . Consideramos "a" el cuadrado impar :
b ≡ 2 ( módulo 4 )
En base a lo expuesto en las condiciones anteriores ,
N = [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [(a+1)/2]² + [( a +3)/2]² +
[(b-6)/2]² + [(b-2)/2]² + [(b+2)/2]² + [(b+6)/2]²─ 25
sumamoa a N , la unidad. El término independiente será ,
( ─ 24 )
La segunda parte de la ecuación ,elevamos sus términos al
cuadrado,
(b²-12b+36+b²-4b+4+b²+4b+4+b²+12b+36-96)/ 4= b²- 4
habíamos dicho que b≡ 2 ( mód. 4 ) ; b = 2 + 4 t

N+1= = [(a-3)/2]² +[(a-1)/2]²+[(a+1)/2]² + [(a+3)/2]²
+ 16 t ( t+1)

Ejemplo :

N = 15.993.157 = 3999² + 34² ; t = (34 - 2)/4 = 8
15.993.158= 1998² +1999²+2000²+2001² + 16 ( 8 × 9 )

Ejercicio Matematicas.-Suma de cuadrados

1).-Partiendo de N= 3293 = 53² + 22² y sabiendo que 1301² ≡ 3292
(módulo 3293) ,hallar los factores de "N" así como los cuadrados que
tengan como residuo (N-1).

2).-El número , N = 11659 es igual a la diferencia de dos cuadrados ,
110²─ 21².Hallar los factores de "N".

3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133² + 48². Calcular el cuadrado que
genera como resto R(x)=16.744.Téngase en cuenta que R(x) es igual
( N - 57²).

4).-N= 26.689 , tiene como factores 13 y 2053. Descomponer "N" en
suma de cuadrados.

5).-Hallar los divisores del numero N = 56.117, sabiendo que es igual
a 169² + 166² = 226² + 71².

6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del nú-
mero 28.845.

7).-El número 26.890 es igual a 135² + 92².Hallar sus factores.

8).-Representar un cuadrado como diferencia entre la suma de dos
de dos grupos de tres cuadrados.
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Solución ejercicio 1

N = 3293 ; x = 89 ; y = 37 ; 3293 = 53² + 22² =2809+484
1301 ² ≡ 3292 ( 3293 ) ; 22 ² x 1301 ² ≡ 2278 ( módulo 3.293 )
53² x 1301 ² ≡ 3093 ( 3293 ) ; 3093 ² ≡ 484 ( módulo 3293 )
3093 ─ 22 = 3071 = 37 x 83 ; 2278 ─ 53 = 2225 = 25 x 89
22 a = 3292 b + 53 ; a = 2547
53 a = 3293 b + 22 ; a = 746
2547 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )
746 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )

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Solución ejercicio 2
N = 11659 ; 110² ─ 21 ² = 11659
21 a = 11659 b - 10 ; a = 9433 ; 9433² ≡ 1 ( mod.11659 )
11658² ≡ 1 ( 11659 ) ; 9433² ≡ 1 ( módulo 11659 )
( 11658 ─ 9433 ) ² = 2225² = 55 x 89

N = 11659 = 89 x 131
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Solución ejercicio 3
N = 19993 = primo = 133² + 48 ² ; R(x) = 16744
48 a = 1993 b + 133 ; a = 14581
14581² ≡ 19992 ( módulo 19993)
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R.........................C T O..................C.....
10898 x 3249 = 19.992....................19.992²............. 5.412²
19992 x 3249 = 16.744.....................19.936²............. 8.589²
16744 x 3249 = .....303.......................6.744².............. 9.741²
303 x 3249.... = ..4.790.......................4.737²............ 15.426²
4790 x 3249.. = ..8.156..........................303².............19.583²
8156 X 3249.. =.. 8.119......................17.271²............16.616²
La columna "C" indica los cuadrados que generan los restos de la
columna "R".La columna "CTO" son los cuadrados que tienen co-
mo residuo cudra´tico (N-R) . De arriba hacia abajo las cifras de
las columnas CTO , C , se multiplican por "57".
57² ≡ 3249 ( módulo 19993) ; 19936² ≡ 3249 ( módulo 19993)
3249² ≡ 15203 ( módulo 19993) ; 14581² ≡ 19992 ( módulo 19993 )
3240 ² ≡ 15.203 ( mód.19.993) ; 19.993 - 4.790 = 15.203
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Solución ejercicio 4
N = 26.689 = 13 x 2.053 = ( 2 ² + 3 ²) ( 17 ² + 42 ²) =
= ( 34 ² +51 ²)+(84 ² +126 ²) = (84 ² +51 ²)+(126 ²+ 34 ²) =
= 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ²
-------------------
a + b = 135 ; c + d = 160 ; a - b = 33 ; c - d = 92
a = 84 ; c = 34 ; b = 51 ; d = 126 ;
26.689 = 34 ² + 51 ² + 84 ² + 126 ²
------------------------------------
Solución ejercicio 5
N = 56.117 = 169 ² + 166 ² = 226 ² + 71 ²

c + d = 169 ; a + b = 226 ; c - d = 71 ; a - b = 166 ;
c = 120 ; a = 196 ; d = 49 ; b = 30
-------------
a = 4 x 49 ; b = 2 x 15 ; c = 2 x 15 x 4 ; d = 7 x 7
49² + 30 ² = 3301 ; 4 ² + 1 ² = 17
56.117 = 3301 x 17
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Solución ejercicio 6
N = 28.845 = 99 ² + 138 ²; 28845 5 = 5769 ; 5 = 2² + 1²
5769 = 12 ² + 75 ²
( 12² + 75 ²) ( 2 ² + 1 ² ) = 24 ² + 150 ² +12 ² + 75 ²
(24 + 75 )² = 99² ; ( 150─ 12 )² = 138 ²
28.845² :45 = 641 ; 641 = 25² + 4 ²
45 = 6² + 3 ² ;
( 25 ² + 4 ² )( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² + 75 ² +12 ² )
28.845 = 162 ² + 51 ² = 138 ² + 99 ²
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Solución ejercicio 7
N= 135 ² + 92 ²; multiplicado por 5 :
N = 270 ² + 184 ² + 135 ² + 92 ² = 362²+ 49²= 178² + 319 ²
a + b = 362 ; c + d = 319 ; a - b = 178 ; c - d = 49
a = 270 ; c = 184 ; b = 92 ; d = 135
a = 270 = 2 × 5 × 3 × 3 × 3 ; b = 92 = 2 × 2 × 23 ;
c = 184 = 2 × 2 ×2 × 23 ; d = 135 = 3 × 3 × 3 × 5
2² + 3 ² = 13; N = 26689 = 13 × 2053
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Solución ejercicio 8
Todo cuadrado, entero,positivo,puede descomponerse como dife-
rencia entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados.
N² = (a²+b²+c²) - (d²+e²+f²) ; condición :
a + d = N ; b + c = N ; c + f = N ; c = 2 N - a - b
Ejemplo:
N = 161
161² = (101²+97²+124²) - (60²+64²+37²)
si,
(2N-a - b)≡ 1 ( módulo N)............. ( a + b )² ≡ 1 ( módulo N)
luego ¿ ( a + b)= N +1 ?.Es posible , pero no necesario.

Formula de suma de cuadrados

En nuestro estudio "Sumas de cuadrados.-Condiciones", en el apar-
tado b) citábamos como condición,que el número N , fuese igual a la
suma de dos cuadrados consecutivos , más dos veces el producto de
dos números consecutivos.
Por otra parte decíamos que "N" es número entero,positivo,impar ,
primo o compuesto,no múltiplo de tres ,ni múltiplo de cuadrado.So-
bre estos dos casos trataremos al final de este trabajo.
N = C(1) + C(2) + ( 2 a ² + 2 a )
Pues bien , esta fórmula , no solo nos da a conocer nuevos números
que son suma de dos cuadrados,sino que deben de estar todos repre
sentados en ella.
Si partimos de dos cuadrados consecutivos, tomados al azar , y para
cualquier valor entero , positivo, de " a " , a> 0 , nos proporcionará
siempre números que son suma de dos cuadrados.
Ejemplo :
C(1) = 13 ; C(2) = 14; N = 13² + 14 ² + ( 2 a²+ 2a ) , da lugar a :
N = 369, 377 , 389 , 405 , 425 , 449......... 785...........
en la cual podemos comprobar que todos los valores de "N" , son su-
ma de cuadrados.Pero lógicamente , no están todos, 373, 397,.. etc..
Si comenzamos la sucesión para todo valor de C(1) , a partir de cero
tendremos la relación completa de números ,suma de 2 cuadrados.
N = o²+1² + (2a²+2a) = 5 , 13 , 25 . 41 . 61 , 85....
N = 1²+2² + (2a²+2a) = 9 , 17 , 29 , 45, 65 , 89 ,.....
N = 2²+3²+ (2a²+2a) = 17 , 25 , 37 , 53 , 73 , 97.....
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------------------------------------------------------
N = 85 ²+86²+(2a²+2a) = 14625 ; 14633 ; 14645;14661 ; 14681...

14625= 85²+86²+4 = 87²+84²=67²+68²+2(52x53)=120²+15²
14633= 85²+86²+12=88²+83²= primo
14645= 85²+86²+24=89²+82²=61²+62²+2(59x60)=121²+2²
14681= 85²+86²+60=91²+80²=75²+76²+2(40x41)=116²+35²
Podemos observar :
a) Que 85+86= 171=87+84=88+83=89+81=91+80
b) Que (67 + 68 = 135= 120+15) (61+62=123=121+12)
c) Que 75+76 ) = 151 = 116+35
d) Que los números primos solo se representan como una pareja
de cuadrados.
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Números que son múltiplos de cuadrados
En este caso se trata de números de la forma :
N = x . y . d ²
lo que procedería en este caso, es dividir"N"por d².Con el cocien-
te se seguiría el mismo proceso.
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Números que son múltiplo de tres
Hemos de distinguir :
a)"N" es múltiplo de tres,pero no de nueve.
b)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia par.
c)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia impar.
En el primer caso "N" no puede ser suma de dos cuadrados,por-
que la suma de 2 cuadrados no puede ser divisble por 3 , y nó por
nueve.
En el segundo caso dividiríamos " N " por 3 elevado a la potencia
par.Con el cociente se seguiría el proceso general.
En el tercer caso , aunque dividamos N por 3 elevado a potencia
par ,el cociente sería divisible por 3 y no por nueve,coincidiendo
con el primer caso.