Factorizacion en suma de cuadrados

Se trata de factorizar un número"N",entero,positivo,impar,compuesto
y suma de cuadrados :

N≡ 1 ( módulo 4) ; N = a ² + b ²= c ² + d ² ; N = x . y

de estos cuatro cuadrados, dos son pares y los otros dos impares,

a = ( 2 p + 1); c = ( 2 n + 1) ; b ≡ 0 ( módulo 2); d≡ 0 ( mód. 2)

2 p + 1 + 2 n + 1 = 2 ( p + n + 1 ) ; de + b = 2 k

N será igual a la suma de 4 cuadrados,
( p + n + 1)² + (2 p + 1 -p -n - 1 )² + k² + ( d - k ) ² = N

Se hace la división factorial de cada sumando ,
( p + n + 1 ) = T . R ; ( 2 p + 1 - p - n -1 ) = S.R ;
k = V . S ; d - k = V . T ;

teniendo en cuenta los factores comunes ,

( T² + S ² ) ( V ² + R² ) = N

T ² + S ² = x ; V ² + R ² = y

Ejemplo :

N = 122.297.537 = 9316 ² + 5959² = 10849² + 2144²
( 9316 + 2144)/2 = 5730 ; ( 5959 + 10849 )/ 2 = 8404
(9316 ─ 5730 ) = 3586 ; ( 10849 ─ 8404 ) = 2445

122.297.537 = 5730 ² + 8404 ² + 3586 ² + 2445 ²
5730 = 2 × 3 ×5 × 191 ; 1804 = 2 ×2 × 11 ×191
3586 = 2 × 11 × 163 ; 2445 = 3 × 5 × 163
N =[ ( 5 ² × 3 ² ) + ( 2 ² × 11 ² ) ] [ 163 ² + (191 ² × 2 ² ) ]
x = ( 5² × 3 ² ) + ( 2 ² × 11 ² ) = 709
y = 163 ² + ( 191 ² × 2 ² ) = 172.493

N = 122.297.537 = 709 × 172.493

Ejercicio de factorizacion.- Matematicas

Factorizar N = 3.972.361 , en función de los residuos cuadráticos,
módulo 144.
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[ (N+1)/2]² ≡121 ( módulo 144 )
Los cuadrados congruentes +121 , módulo 144 son:
11-29-43-61-83-101-115-133
Cuando " N " termina en 61 , las unidades del cuadrado incógnita
han de terminar en "5", o las decenas en 19-31-69-81 . El punto
de partida , será por aproximación ,la raíz cuadrada de "N".
( 13 x 144) + 133 = 2005 ; (2005² - N ) no ≡ 0 ( módulo b²)
(144 x144) + 29 = 2045 ; (2045² - N ) no ≡ 0 ( módulo b²)
seguimos probando bases,pero solo las que terminen en :
5 ó 19-31-69-81
( 14 x 144) + 115 = 2131 ; (2131² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
( 15 x 144 )+ 115 = 2275 ; (2275² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 11 = 2325 ; (2325² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 61 = 2365 ; (2365² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 101 = 2405 ; (2405² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
( 16 x 144 )+ 115 = 2419 ; (2419² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(17 x 144)+ 83 = 2531 ; (2531² - N ) ≡ 0 (mód. 1560²)
2531 ± 1560 = 4.091 y 971
N = 3.972.361 = 4091 x 971