Ejercicios de residuos cuadraticos.-Matematicas

1).-El número 839.243 es igual a 977 × 859.-Calcular el cuadrado
que genera como resto cuadrático " R " , sabiendo , que R ≡ 591
( módulo 859 ) y R≡ 598 ( módulo 977 ).

2).-Sabiendo que el resto R(x) = 304 , y que el resto R(x+10) es
igual a 536 , encontrar otro resto cuadrático R(y) que multiplica-
do por R(x), nos dé R(x+10), módulo 1037.

3).-Igualmente sabiendo que R(x) = 304 , y que R(x+10) es igual
a 536, hallar el residuo cuadrático R ( x)/ R(z) ≡R(x+10), para un
módulo 1037.

4).-Dado un número, N = 22257 = 61 × 37 ,y un resto cúbico R(3)
igual a 2246, hallar el cubo que lo genera.

5).-Partiendo de N = 1.591 = 43 × 37 , determinar los cuadrados
los cuadrados que generan "1", como residuo cuadrático.

6).-Se trata de un número compuesto, N = 714.641 , que es igual a
983 × 727. Hallar los cuadrados que tienen como residuo las bases
de dichos cuadrados.

7).-Calcular el cuadrado que para módulo 47 , tiene como resto 37
sabiendo que 37 elevado al cubo es congruente 9² , módulo 47.

8).-Hallar el cuadrado que genera como resto 933, módulo 1063.-
Sabemos que 933 elevado al cubo es congruente 735 ² , para un
módulo 1063.

9).-Dado el residuo cuadrático , R(x) = 78 , de N = 83 ,determinar
dos restos cuadráticos cuyo producto tenga como resto , R(x).

10).-Los cuadrados 396.221 ² y 17.413.260 ² generan como resto
138.343, para un módulo 49.090.351.-Hallar los factores de dicho
número.

--------------------------------------------

Solución ejercicio 1

N = 977 × 850 = 839.243 ; n² ≡ R ( módulo 839243 )
R ≡ 591 ( módulo 859 ) ; R ≡ 598 ( módulo 977 )
591 + 859 a = 598 + 977 b ; 859 a = 977 ( b + 1) ─ 970 ; b = 444
591 + (505 × 859 ) = 434386 ; R = 434.386

297²≡ 591 ( módulo 859 ) ; 368² ≡ 598 ( módulo 977 )
297 + 859 a = 368 + 977 b
859 a = 977 ( b + 1) ─ 906 ; (822× 927) + 368 = 803.462
803.462 ² ≡ 434.386 ( módulo 839.343 ) , y también ,
368 ─ 297 = 71; 859 a = 977 b─ 71 ; a = 42

( 42× 859 )─ 297 = 35781; 35781 ² ≡ 434.386 ( mód.839243)

----------------------------------------

Solución ejercicio 2

304 a = 1037 b ─ 536 ; R(x).R(y) = R(x+10)
x + y - 1 = x + 10 ; Y = 11
R(y) = R(11) ; 304 a = 1037 b─ 536 ; a = 353

1037 ─ 353 = 684 ; R(11)= 684

304 × 684 ≡ 536 ( módulo 1037 )

-----------------------------------------

Solución ejercicio 3

( x - z + 1) = x + 1 ; z = - 11 ; R(x)/R(z)≡R(x+10) ( mód.1037)
R(x)≡ R(x+10).R(-9) ( módulo 1037 ) ; R (11) = 684
R( -11) = 47 : 684 × 47 ≡ 1 ( módulo 1037 )

R(11).R(-11) = R(1) ≡ 1 ( módulo 1037 )

------------------------------------------

Solución ejercicio 4

N = 22257 = 51 × 37 ; resto cúbico = 2246

2246 ≡ 26 ( módulo 37 ) ; 2246 ≡ 50 ( módulo 61 )
9 ³ ≡ 26 ( módulo 37 ) ; 11 ³ ≡ 50 ( módulo 61 )
9 + 37 a = 11 + 61 b ; 37 a = 61 ( b + 1 ) - 59 ; a = 5

5 × 37 = 185 ; 185 + 9 = 194

194 ² ≡ 2246 ( módulo 2257 )

-------------------------------------------------

Solución ejercicio 5

1591 = 43 × 57 ; 37 a = 43 b - 2 ; a = 29 ; 29 × 37 = 1073
1073 + 1 = 1074 ; 1074² ≡ 1 ( módulo 1591 )
1074 = ( 29 x 37 + 1 ) ; 1074 = (25 × 43 ) - 1
-------------------------------------------------

Solución ejercicio 6

N = 983 × 727 = 714.641 ; 927 a = 983 b - 2 ; a = 192

192 × 727 = 139584 ; 139584 + 1 = 138.585
139.585 ² ≡ 1 ( mód.714.641 ) ; 575.056 ² ≡ 1 ( mód.714.641 )
(575.056 + 714.641 + 1)/ 2 = 644.849
644.849² ≡ 644.849 ( módulo 714.641 )
el otro cuadrado será , 714641 +1 -644.849 = 69.793
69.793 ² ≡ 69.793 ( módulo 714.641 )
--------------------------------------------

Solución ejercicio 7

Partiendo del multiplicador "37", hallar el otro multiplicador que
genere el "9"
37 a = 47 b - 0 ; a = 15 ; 47-15 = 32 ;
32 × 37 = 1184 ≡ 9 ( módulo 47 )
32 ² ≡ 37 ( módulo 47 )
--------------------------------------------------

Solución ejercicio 8

Habrá que calcular el segundo multiplicador que genere el "735",
módulo 1063.
933 a = 1063 b - 735 ; a = 946
1063 ─ 946 = 117
117 ² ≡ 933 ( módulo 1063 )

-----------------------------------------------

Solución ejercicio 9

N = 83 ; R(x) = 78 , tomamos un resto cualquiera,por ejemplo el 77 ,
83─ 78 = 5 ; a = 70 ; 77 a = 83 (b + 1) - 5 ;

70 × 77 ≡ 78 ( módulo 83 )

---------------------------------------------------

Solución ejercicio 10

396.221 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 ) ;
17.413.260 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )
a x + 396.221 = 17.413.260 ; b x + 17.413.260 = 49.486.572
x . y = 49.090.351 ; a x = 17.017.029 ; bx = 32.073.312
34.034.078 ─ 32.073.312 = 1960.766
9 × 1.960.766 = 17.646.894 ;
17.646.894 - 17-017-039 = 629.855
629.855 : 5 = 125.971
1.960.766 ─ ( 15 x 125.971 ) = 71.201
125.971 - 71201 = 54.770 ; 54770 : 10 = 5477

49.090.351 = 5477 × 8963

--------------------------------------------

Residuo cuadratico uno

Todo número ,entero ,positivo ,impar ,compuesto, que llamaremos
"N", tiene como mínimo cuatro cuadrados,menores que N, que ele-
vados al cuadrado generen como residuo cuadrático la unidad.
"A priori " conocemos dos de ellos : 1 ² ; ( N - 1 ) ²

El presente trabajo , que exponemos bajo el título de "Residuo cua-
drático uno", da a conocer los procedimientos a través de los cuales
es posible hallar los otros dos cuadrados menores que N , que tam-
bién generen el "1" como resto cuadrático . A su vez el conocer esto
nos proporciona :

1).-Saber los factores que dividen a "N". Factorización que tiene co-
mo base los cuadrados de Fermat.
2).-Nos informa de que la base de uno de los cuadrados , es igual a
la diferencia de dos números, que tiene de particular que al ser ele-
vados al cuadrado, sus congruencias son iguales a sus bases , módu-
lo "N".
3).-Proporciona mediante una simple operación , el hallar los 3º y
cuarto cuadrados que generan como residuo 2², 3² etc..
4).-Nos muestra la relación directa de los citados dos cuadrados,con
los cuadrados de factorización de Fermat.
5).-Por último pone a nuestra disposición las citadas propiedades o
peculiaridades , que pueden base de otros estudios.

Procedimientos para conocer los cuadrados que generan
como resto cuadrático la unidad.

Procedimiento A

N = impar, compuesto,positivo = A ² + B ² = C ² + D ²
planteamos la ecuación diofántica , N × c ─ B = A × e , y nos propor-
ciona que ,
e ² ≡ - 1 ( módulo N ) , e igualmente planteamos otra ecuación ,
N × d ─ D = f × C , en la que también, f² ≡ -1 ( módulo N )

multiplicamos, e² × f ² ≡ 1 ( módulo N )

Ejemplo :
N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ²
61317 c ─ 141 = 206 e , resolviendo la ecuación, e = 5747
por otra parte, 62317 d ─ 179 = 174 f ; f = 12534
5747² ≡ 62316 ( mód.62317 ) ; 12534² ≡ 62316 ( mod.62317)
5747 × 12534 = 56763 ( módulo 62317 )

56763 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )

En cuanto a la factorización del número 62317, las bases de los
cuatro cuadrados son :
62316 1 56763 5554

62316 - 56763 = 9 × 617 ; 62316 ─ 5554 = 562 × 101

N = 62317 = 617 × 101

Procedimiento B

Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números
consecutivos que tengan como factores entre otros a "x" "y" ,
N = x . y ; a . x = b . y ; d . x = e ( y + 1)
( b . y ) ² ≡ b . y ( módulo N ) ; ( d . x )² ≡ d . x ( módulo N )
( b . y - d . x ) ≡ 1 ( módulo N )

Ejemplo :
N = 62317 = 617 × 101 ; 617 a + 1 = 101 b ; b = 336 ;
336 × 101 = 33936 ; 617 a = 101 b +1 ; a = 46 ;
46 × 617 = 28382 ; 33936 ─ 28382 = 5554 ;
5554² ≡ 1 ( módulo 62317 ) ; 33936 ≡ 1 ( mód.62317 )

33936 ² ≡ 33936 ( mód.62317 )
28382 ²≡ 28382 ( mód.62317 )

Procedimiento C

Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat :
N = x . y F ² ─ N = f ² ; B . N ─ F = a . f

a ² ≡ 1 ( módulo N )

Ejemplo :
N = 62317 = 671 × 101 .-
Las bases de los cuadrados de Fermat son:
( 617 + 101 )/2 = 359 ; ( 617 ─101) = 258

62317 b ─ 258 = 359 a ; a = 5554

5554 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )