Ejercicio Matematicas.-Suma de cuadrados

1).-Partiendo de N= 3293 = 53² + 22² y sabiendo que 1301² ≡ 3292
(módulo 3293) ,hallar los factores de "N" así como los cuadrados que
tengan como residuo (N-1).

2).-El número , N = 11659 es igual a la diferencia de dos cuadrados ,
110²─ 21².Hallar los factores de "N".

3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133² + 48². Calcular el cuadrado que
genera como resto R(x)=16.744.Téngase en cuenta que R(x) es igual
( N - 57²).

4).-N= 26.689 , tiene como factores 13 y 2053. Descomponer "N" en
suma de cuadrados.

5).-Hallar los divisores del numero N = 56.117, sabiendo que es igual
a 169² + 166² = 226² + 71².

6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del nú-
mero 28.845.

7).-El número 26.890 es igual a 135² + 92².Hallar sus factores.

8).-Representar un cuadrado como diferencia entre la suma de dos
de dos grupos de tres cuadrados.
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Solución ejercicio 1

N = 3293 ; x = 89 ; y = 37 ; 3293 = 53² + 22² =2809+484
1301 ² ≡ 3292 ( 3293 ) ; 22 ² x 1301 ² ≡ 2278 ( módulo 3.293 )
53² x 1301 ² ≡ 3093 ( 3293 ) ; 3093 ² ≡ 484 ( módulo 3293 )
3093 ─ 22 = 3071 = 37 x 83 ; 2278 ─ 53 = 2225 = 25 x 89
22 a = 3292 b + 53 ; a = 2547
53 a = 3293 b + 22 ; a = 746
2547 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )
746 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )

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Solución ejercicio 2
N = 11659 ; 110² ─ 21 ² = 11659
21 a = 11659 b - 10 ; a = 9433 ; 9433² ≡ 1 ( mod.11659 )
11658² ≡ 1 ( 11659 ) ; 9433² ≡ 1 ( módulo 11659 )
( 11658 ─ 9433 ) ² = 2225² = 55 x 89

N = 11659 = 89 x 131
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Solución ejercicio 3
N = 19993 = primo = 133² + 48 ² ; R(x) = 16744
48 a = 1993 b + 133 ; a = 14581
14581² ≡ 19992 ( módulo 19993)
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R.........................C T O..................C.....
10898 x 3249 = 19.992....................19.992²............. 5.412²
19992 x 3249 = 16.744.....................19.936²............. 8.589²
16744 x 3249 = .....303.......................6.744².............. 9.741²
303 x 3249.... = ..4.790.......................4.737²............ 15.426²
4790 x 3249.. = ..8.156..........................303².............19.583²
8156 X 3249.. =.. 8.119......................17.271²............16.616²
La columna "C" indica los cuadrados que generan los restos de la
columna "R".La columna "CTO" son los cuadrados que tienen co-
mo residuo cudra´tico (N-R) . De arriba hacia abajo las cifras de
las columnas CTO , C , se multiplican por "57".
57² ≡ 3249 ( módulo 19993) ; 19936² ≡ 3249 ( módulo 19993)
3249² ≡ 15203 ( módulo 19993) ; 14581² ≡ 19992 ( módulo 19993 )
3240 ² ≡ 15.203 ( mód.19.993) ; 19.993 - 4.790 = 15.203
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Solución ejercicio 4
N = 26.689 = 13 x 2.053 = ( 2 ² + 3 ²) ( 17 ² + 42 ²) =
= ( 34 ² +51 ²)+(84 ² +126 ²) = (84 ² +51 ²)+(126 ²+ 34 ²) =
= 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ²
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a + b = 135 ; c + d = 160 ; a - b = 33 ; c - d = 92
a = 84 ; c = 34 ; b = 51 ; d = 126 ;
26.689 = 34 ² + 51 ² + 84 ² + 126 ²
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Solución ejercicio 5
N = 56.117 = 169 ² + 166 ² = 226 ² + 71 ²

c + d = 169 ; a + b = 226 ; c - d = 71 ; a - b = 166 ;
c = 120 ; a = 196 ; d = 49 ; b = 30
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a = 4 x 49 ; b = 2 x 15 ; c = 2 x 15 x 4 ; d = 7 x 7
49² + 30 ² = 3301 ; 4 ² + 1 ² = 17
56.117 = 3301 x 17
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Solución ejercicio 6
N = 28.845 = 99 ² + 138 ²; 28845 5 = 5769 ; 5 = 2² + 1²
5769 = 12 ² + 75 ²
( 12² + 75 ²) ( 2 ² + 1 ² ) = 24 ² + 150 ² +12 ² + 75 ²
(24 + 75 )² = 99² ; ( 150─ 12 )² = 138 ²
28.845² :45 = 641 ; 641 = 25² + 4 ²
45 = 6² + 3 ² ;
( 25 ² + 4 ² )( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² + 75 ² +12 ² )
28.845 = 162 ² + 51 ² = 138 ² + 99 ²
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Solución ejercicio 7
N= 135 ² + 92 ²; multiplicado por 5 :
N = 270 ² + 184 ² + 135 ² + 92 ² = 362²+ 49²= 178² + 319 ²
a + b = 362 ; c + d = 319 ; a - b = 178 ; c - d = 49
a = 270 ; c = 184 ; b = 92 ; d = 135
a = 270 = 2 × 5 × 3 × 3 × 3 ; b = 92 = 2 × 2 × 23 ;
c = 184 = 2 × 2 ×2 × 23 ; d = 135 = 3 × 3 × 3 × 5
2² + 3 ² = 13; N = 26689 = 13 × 2053
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Solución ejercicio 8
Todo cuadrado, entero,positivo,puede descomponerse como dife-
rencia entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados.
N² = (a²+b²+c²) - (d²+e²+f²) ; condición :
a + d = N ; b + c = N ; c + f = N ; c = 2 N - a - b
Ejemplo:
N = 161
161² = (101²+97²+124²) - (60²+64²+37²)
si,
(2N-a - b)≡ 1 ( módulo N)............. ( a + b )² ≡ 1 ( módulo N)
luego ¿ ( a + b)= N +1 ?.Es posible , pero no necesario.