Formula de suma de cuadrados

En nuestro estudio "Sumas de cuadrados.-Condiciones", en el apar-
tado b) citábamos como condición,que el número N , fuese igual a la
suma de dos cuadrados consecutivos , más dos veces el producto de
dos números consecutivos.
Por otra parte decíamos que "N" es número entero,positivo,impar ,
primo o compuesto,no múltiplo de tres ,ni múltiplo de cuadrado.So-
bre estos dos casos trataremos al final de este trabajo.
N = C(1) + C(2) + ( 2 a ² + 2 a )
Pues bien , esta fórmula , no solo nos da a conocer nuevos números
que son suma de dos cuadrados,sino que deben de estar todos repre
sentados en ella.
Si partimos de dos cuadrados consecutivos, tomados al azar , y para
cualquier valor entero , positivo, de " a " , a> 0 , nos proporcionará
siempre números que son suma de dos cuadrados.
Ejemplo :
C(1) = 13 ; C(2) = 14; N = 13² + 14 ² + ( 2 a²+ 2a ) , da lugar a :
N = 369, 377 , 389 , 405 , 425 , 449......... 785...........
en la cual podemos comprobar que todos los valores de "N" , son su-
ma de cuadrados.Pero lógicamente , no están todos, 373, 397,.. etc..
Si comenzamos la sucesión para todo valor de C(1) , a partir de cero
tendremos la relación completa de números ,suma de 2 cuadrados.
N = o²+1² + (2a²+2a) = 5 , 13 , 25 . 41 . 61 , 85....
N = 1²+2² + (2a²+2a) = 9 , 17 , 29 , 45, 65 , 89 ,.....
N = 2²+3²+ (2a²+2a) = 17 , 25 , 37 , 53 , 73 , 97.....
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N = 85 ²+86²+(2a²+2a) = 14625 ; 14633 ; 14645;14661 ; 14681...

14625= 85²+86²+4 = 87²+84²=67²+68²+2(52x53)=120²+15²
14633= 85²+86²+12=88²+83²= primo
14645= 85²+86²+24=89²+82²=61²+62²+2(59x60)=121²+2²
14681= 85²+86²+60=91²+80²=75²+76²+2(40x41)=116²+35²
Podemos observar :
a) Que 85+86= 171=87+84=88+83=89+81=91+80
b) Que (67 + 68 = 135= 120+15) (61+62=123=121+12)
c) Que 75+76 ) = 151 = 116+35
d) Que los números primos solo se representan como una pareja
de cuadrados.
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Números que son múltiplos de cuadrados
En este caso se trata de números de la forma :
N = x . y . d ²
lo que procedería en este caso, es dividir"N"por d².Con el cocien-
te se seguiría el mismo proceso.
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Números que son múltiplo de tres
Hemos de distinguir :
a)"N" es múltiplo de tres,pero no de nueve.
b)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia par.
c)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia impar.
En el primer caso "N" no puede ser suma de dos cuadrados,por-
que la suma de 2 cuadrados no puede ser divisble por 3 , y nó por
nueve.
En el segundo caso dividiríamos " N " por 3 elevado a la potencia
par.Con el cociente se seguiría el proceso general.
En el tercer caso , aunque dividamos N por 3 elevado a potencia
par ,el cociente sería divisible por 3 y no por nueve,coincidiendo
con el primer caso.