Sumas de cuadrados.-Condiciones

No todo número puede ser representado como suma de dos cuadra-
dos.
Pierre de Fermat (1601 -1665) ,conocido como el padre de la Teoría
de números, en carta de 25 de diciembre de 1640 , dirigida a Marin
Mersenne, fraile franciscano,enunció el teorema que afirmaba que
un número primo de la forma 4 n+1 , puede expresarse de una ma-
nera como suma de dos cuadrados. Añadía que si un número primo ,
que es suma de dos cuadrados, se multiplica por otro número primo,
que también es suma de dos cuadrados , el producto sería la suma
de dos cuadrados de dos formas distintas.

Fermat también afirmó,que ningún primo de la forma 4 n + 3 ,puede
expresarse como suma de dos cuadrados.
Existe un fórmula sencilla , ya usada por Diofanto:

(a² + b²) (c² + d²) = (a c+b d) ²+(a d-b c) ² = (a c-b d) ²+(a d+b c)²
que permite observar que el producto de dos números que son su-
ma de dos cuadrados , es también suma de dos cuadrados.

Entre otros matemáticos que estudiaron este problema , podemos
citar a Bachet ,en sus comentarios al Libro de Diofanto , François
Viète y Albert Girad ( 1595 - 1612 ).
Este último afirmaba,que un número es suma de dos cuadrados , si
es un cuadrado,o es el 2, o es 1 más múltiplo de 4, ó un producto de
tales números.
En nuestro estudio,hacemos referencia a todo número N , entero ,
positivo,impar,no múltiplo de un cuadrado, ni múltiplo de 3 .
Pueden ser primos o compuestos.Los números múltiplos de cuadra-
do se dividirán por estas cifras tantas veces como lo permita el nú-
mero ,hasta obtener el número N, válido para el estudio.
Al final del estudio , se tendrá en cuenta esta simplificación.

Condiciones necesarias y suficientes para que un número
sea suma de dos cuadrados.

Como sabemos , la condición necesaria pero no suficiente , es que ,
"N" sea congruente la unidad , módulo 4.

Teorema
Como condiciones necesarias y suficientes citaré aquellas en las que
se fundamenta el presente teorema, y que más adelante justifico :

a).-Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un resto cuadrático R
módulo el citado N , tiene que existir otra pareja de cuadrados, que
genere como resto (N-R).

b).-Para que"N"sea igual a la suma de dos cuadrados,es preciso que
"N"sea igual a la suma de dos cuadrados consecutivos , más el doble
del producto de dos números consecutivos.
N = e ² + ( e + 1 ) ² + 2 f ( f + 1 )

c).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos ,sea congruente la uni-
dad módulo N.
g ² + ( g + 1 ) ² + ( g + 2 ) ² + ( g + 3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )
Podemos citar 2 condiciones necesarias y suficientes,que tienen su
fundamento en las arriba citadas.

d)Igualmente será condición necesaria y suficiente , que (N+1) sea
igual a la suma de 4 cuadrados consecutivos , más 16 veces el pro-
ducto de dos determinados números consecutivos.
N+ 1 = [ (a-3)/2]²+ [(a-1)/2]² + [( a+ 1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+16 t ( t+1)

e).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos pares, sea congruente
16,módulo N.
h ² + ( h +2 ) ²+ ( h + 4 ) ²+ ( h + 6 ) ² ≡ 16 ( módulo N )
A continuación vamos a justificar el por qué de las citadas condicio-
nes .

Justificación A

Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un residuo cuadrático R ,
módulo el citado N,tiene que existir al menos otra pareja de cuadra-
dos que genere el resto N-R.
Creemos que esta condición está suficientemente justificada ,y con
argumentos diversos.Citaremos uno :

N = a ² + b ² a ² = R b ² = N - R
otro cualquier resto cuadrático , f ² ≡ R (2) ( módulo N )
Teniendo en cuenta una de las propiedades de los restos cuadráticos,
el producto de multiplicar dos restos , genera otro resto .
Luego tiene que existir un resto "r",que multiplicado por "R", genere
como resto R(2).
R . r ≡ R(2) ( módulo N ).- Siendo esto así ,
(N -R) . r ≡ [(N - R(2) )] ( módulo N )
Conociendo el cuadrado que da como resto N-1,es fácil determinar
cualquier cuadrado que proporcione el resto (N-R)

Ejemplo :

N = 3977 = a ² + b ² = 61 ² + 16 ² = 29 ² + 56 ²
C ² ≡ ( N - 1) ( mód. N ) ; C = ( d N - b ) / a ; C = (3977 d - 61)/16 .
resolvemos la ecuación diofántica , d = 5 , C = 1239
1239 ² ≡ 3976 ( módulo 3977 ) ; K ² ≡ R ( módulo N )

K ² ≡ ( N - R ) ( módulo N )

Justificación B

N = e ² + ( e+ 1 ) ² + 2 f ( f + 1 ) ; N = a ² + b ² ; a > b;
e = ( a + b - 1)/2 ; f = a - e - 1 = e . b
N = e ² +( e + 1) ² + 2 f ( f + 1) =
= [(a+b+1)/ 2] ² + [ ( a + b - 1)/2 ] ² + [ ( a - b)² - 1 ]/2

Esto es fácilmente demostrable,
[ ( a + b+ 1)/2 ] ² + [(a + b -1)/2] ² = [( a + b )² + 1 ] / 2

la diferencia entre,
a ² + b ² - [( a + b) ² + 1]/2 = [( a - b) ² -1]/ 2 ,
y como quiera que ,
( a - b) ² - 1 = ( a - b + 1) ( a -b - 1 )
[( a - b) ² - 1 ]/2 es igual al producto de multiplicar 2 , por
dos números consecutivos.

Ejemplo :

N = 12.719.837 = 2348 ² + 2347 ² + (2 × 921 × 922)
127.198.837 = (2348 + 921)² + (2347 - 921) ² =

N = 12.719.837 = 3269 ² + 1426 ²

Justificación C

Esto hace referencia a :
g² + ( g+1 ) ² + (g+2 ) ² + (g+3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )

g = [ ( N - 2 C - 3) ]/2 ; C ² ≡ (N-1 ) ( módulo N )
g² = [(g-3)/2]²+ [(g-1)/2]² + [(g+1)/2]² +[(g+3)/2]² ─ 5

Ejemplo :

359 ² = 178² + 179 ² + 180 ² + 181 ² ─ 5
[(g- 3)/2]² + [(g-1)/2]²+ [(g+1)/2]²+[(g+3)/2]² ─ 5 = g²
Por otra parte, si consideramos que :
C ² ≡ ( N -1 ) ( módulo N); C ² ≡ - 1 ( módulo N )
( 2 C ) ² ≡ ( N - 1) ( mód . N ) ; 2 C = par ; ( n - 2 C )= impar
[(N - 2 C - 3)/2]² + [(N-2 C - 1)/2]² + [(N-2 C + 1)/2]² +
+ [(N- 2 C + 3 )/2] ² ─ 5 ≡ -4 ( módulo N )
la suma de los 4 cuadrados es congruente más uno , módulo N.

Justificación E

Esta decía :
h² + (h+ 2)² + (h+4)² + (h+6)² ≡ 16 ( módulo N ) ; h = C - 3
Si multiplicamos por 2 ² , la ecuación de la condición C ,llegaría-
mos a :
(2g + 6) ² = g ² + (g+2) ² + (g+4) ²+(g+6) ² ─ 20

Ejemplo :

718 ² = 356 ² + 358 ² + 360² + 362² + 20 ,
para (2g+6) ≡ 2 ( módulo 4 )
Recordemos que tiene que existir un cuadrado :
( 2 g + 6 ) ² ≡ - 4 ( módulo N )
(2 h + 6)² = h ² + (h+2) ² + ( h+4 ) ² + (h+6 ) ² ≡ 16 ( mód.N)

N = 3977; 1239 ² ≡ - 1 ( mod.3977 ) ; 2478 ² ≡ - 4 ( mód.3977)
1236² + 1238²+1240²+1242² ≡ 16 ( módulo 3977 )

Justificación D

N+ 1= [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [a+1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+ 16 t ( t + 1) ; t = ( b - 2) /4

N = a ² +b ² ; N ≡ - 3 ( módulo 8) ≡ 1 ( módulo 4 ) ;
a> 1 ; b> 1 . Consideramos "a" el cuadrado impar :
b ≡ 2 ( módulo 4 )
En base a lo expuesto en las condiciones anteriores ,
N = [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [(a+1)/2]² + [( a +3)/2]² +
[(b-6)/2]² + [(b-2)/2]² + [(b+2)/2]² + [(b+6)/2]²─ 25
sumamoa a N , la unidad. El término independiente será ,
( ─ 24 )
La segunda parte de la ecuación ,elevamos sus términos al
cuadrado,
(b²-12b+36+b²-4b+4+b²+4b+4+b²+12b+36-96)/ 4= b²- 4
habíamos dicho que b≡ 2 ( mód. 4 ) ; b = 2 + 4 t

N+1= = [(a-3)/2]² +[(a-1)/2]²+[(a+1)/2]² + [(a+3)/2]²
+ 16 t ( t+1)

Ejemplo :

N = 15.993.157 = 3999² + 34² ; t = (34 - 2)/4 = 8
15.993.158= 1998² +1999²+2000²+2001² + 16 ( 8 × 9 )