Casi todos los procesos de factorización de números enteros,y mé-
todos empleados en criptografía , toman como base dos cuadrados.
[( x + y) /2 ] ² ; [ ( x - y) /2 ] ²
A dichos cuadrados se les conoce bajo en el nombre de "cuadrados
de Fermat" , ya que fué éste quien les dió a conocer en su sistema
de factorización.
El presente trabajo tiene como objeto principal,conocer la relación
entre los citados cuadrados y otros dos cuadrados conocidos :
[ ( N + 1 ) /2 ] ² ; [ ( N - 1 ) / 2 ] ² , en los que N = x . y
El resumen de nuestro trabajo está contenido en las siguientes :
Propiedades de los cuadrados de Fermat
1).-Dado un número , N , entero , positivo , impar , no múltiplo de
3 ni de 5 , ya que esta condición se aprecia a simple vista , cuyos
factores son "x" "y" , la diferencia entre el cuadrado de la semi-su-
ma de "N+1" y el cuadrado de la semi-suma de sus factores es con-
gruente "cero" , módulo 144.
[(N+1)/2 ] ² - [ ( x + y)/2 ] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
2).-Relativo a dicho número , la diferencia entre el cuadrado de la
semi-resta de ( N - 1) y el cuadrado de la semi-resta de sus facto-
res es congruente cero , módulo 144.
[(N-1)/2] ² - [ ( x - y)/2] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
3).-La condición suficiente para que un número N,par,positivo,sea
suma de dos cuadrados, es que el producto de las bases de dichos
factores , elevadas al cuadrado , más la unidad ,sea congruente en
dicho valor de N ( módulo 192 )
En nuestra demostración partimos de "N", como hemos dicho , en-
tero , positivo . compuesto , no múltiplo de 3 ni de 5 , impar ,
N = x . y ; ( N+1)² ─ (x . y ) ² = 4 D ,después del correspondiente
desarrollo ,
(N+1)² ─(x+y)² = 4 D = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
En un principio hemos de precisar que N, puede estar encuadrada
en uno de estos 3 grupos .
Grupo 1
N ≡ ± 3 ( módulo 8 )
Grupo 2
N ≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 1 ( módulo 8 )
Grupo 3
N≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 3 ( módulo 8)
Habíamos dejado nuestro estudio en:
(N+1)² ─ (x + y) ² = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
Si "N" pertenece al Grupo 3º :
Si (x-1) no es múltiplo de 4, lo será (x+1) , o viceversa.
Si (y-1) no es múltiplo de 4 , lo será (y+1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4 d .2e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 16 )
Si "N" pertenece al Grupo 1 :
Si (x+1) no es múltiplo de 8 , lo será (x-1), o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 8 , lo será (y-1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4d .2e .2f ) :4 ,que es
≡ 0 ( módulo 32 )
Si "N" pertenece al Grupo 2 :
Si (x+1) no es múltiplo de 16 , lo será (x-1) , o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 16 , lo será (y-1) , o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (8c. 2d . 8e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 64 )
Por otra parte, como ni "x" ni "y" son múltiplos de "3" :
Si (x+1) es múltiplo de 3 , (x-1) no lo será.
Si (y+1) es múltiplo de 3 , (y-1) no lo será.
o viceversa en ambas.
Conclusión :
a) Si "N" es del Grupo 3 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1): 4 ≡ 0 ( módulo 144 )
b) Si "N" es del Grupo 1 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 288 )
c) Si "N" es del Grupo 2 :
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 576 )
Con esto queda demostrada la primera propiedad . Siguiendo el
mismo procedimiento quedaría demostrada la segunda propie-
dad , relativa a:
[( N-1)/2]² ─ [(x-y)/2]²
En cuanto a la demostración de la tercera propiedad, es una con-
secuencia de la primera ,
(N+1)²─ (x + y )² = 576 a
( x . y ) ─ 576 a + 1 = x² + y ²
esto sería válido para todo "N",positivo,compuesto,en el que nin-
guno de sus factores es múltiplo de 3.
Para generalizarlo a todo "N" , par, quedaría :
( x . y ) ² ─ 192 a + 1 = N , o lo que es lo mismo ,
[(x . y ) ² + 1 ] ≡ ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )
todos empleados en criptografía , toman como base dos cuadrados.
[( x + y) /2 ] ² ; [ ( x - y) /2 ] ²
A dichos cuadrados se les conoce bajo en el nombre de "cuadrados
de Fermat" , ya que fué éste quien les dió a conocer en su sistema
de factorización.
El presente trabajo tiene como objeto principal,conocer la relación
entre los citados cuadrados y otros dos cuadrados conocidos :
[ ( N + 1 ) /2 ] ² ; [ ( N - 1 ) / 2 ] ² , en los que N = x . y
El resumen de nuestro trabajo está contenido en las siguientes :
Propiedades de los cuadrados de Fermat
1).-Dado un número , N , entero , positivo , impar , no múltiplo de
3 ni de 5 , ya que esta condición se aprecia a simple vista , cuyos
factores son "x" "y" , la diferencia entre el cuadrado de la semi-su-
ma de "N+1" y el cuadrado de la semi-suma de sus factores es con-
gruente "cero" , módulo 144.
[(N+1)/2 ] ² - [ ( x + y)/2 ] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
2).-Relativo a dicho número , la diferencia entre el cuadrado de la
semi-resta de ( N - 1) y el cuadrado de la semi-resta de sus facto-
res es congruente cero , módulo 144.
[(N-1)/2] ² - [ ( x - y)/2] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
3).-La condición suficiente para que un número N,par,positivo,sea
suma de dos cuadrados, es que el producto de las bases de dichos
factores , elevadas al cuadrado , más la unidad ,sea congruente en
dicho valor de N ( módulo 192 )
En nuestra demostración partimos de "N", como hemos dicho , en-
tero , positivo . compuesto , no múltiplo de 3 ni de 5 , impar ,
N = x . y ; ( N+1)² ─ (x . y ) ² = 4 D ,después del correspondiente
desarrollo ,
(N+1)² ─(x+y)² = 4 D = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
En un principio hemos de precisar que N, puede estar encuadrada
en uno de estos 3 grupos .
Grupo 1
N ≡ ± 3 ( módulo 8 )
Grupo 2
N ≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 1 ( módulo 8 )
Grupo 3
N≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 3 ( módulo 8)
Habíamos dejado nuestro estudio en:
(N+1)² ─ (x + y) ² = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
Si "N" pertenece al Grupo 3º :
Si (x-1) no es múltiplo de 4, lo será (x+1) , o viceversa.
Si (y-1) no es múltiplo de 4 , lo será (y+1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4 d .2e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 16 )
Si "N" pertenece al Grupo 1 :
Si (x+1) no es múltiplo de 8 , lo será (x-1), o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 8 , lo será (y-1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4d .2e .2f ) :4 ,que es
≡ 0 ( módulo 32 )
Si "N" pertenece al Grupo 2 :
Si (x+1) no es múltiplo de 16 , lo será (x-1) , o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 16 , lo será (y-1) , o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (8c. 2d . 8e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 64 )
Por otra parte, como ni "x" ni "y" son múltiplos de "3" :
Si (x+1) es múltiplo de 3 , (x-1) no lo será.
Si (y+1) es múltiplo de 3 , (y-1) no lo será.
o viceversa en ambas.
Conclusión :
a) Si "N" es del Grupo 3 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1): 4 ≡ 0 ( módulo 144 )
b) Si "N" es del Grupo 1 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 288 )
c) Si "N" es del Grupo 2 :
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 576 )
Con esto queda demostrada la primera propiedad . Siguiendo el
mismo procedimiento quedaría demostrada la segunda propie-
dad , relativa a:
[( N-1)/2]² ─ [(x-y)/2]²
En cuanto a la demostración de la tercera propiedad, es una con-
secuencia de la primera ,
(N+1)²─ (x + y )² = 576 a
( x . y ) ─ 576 a + 1 = x² + y ²
esto sería válido para todo "N",positivo,compuesto,en el que nin-
guno de sus factores es múltiplo de 3.
Para generalizarlo a todo "N" , par, quedaría :
( x . y ) ² ─ 192 a + 1 = N , o lo que es lo mismo ,
[(x . y ) ² + 1 ] ≡ ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )
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