Residuo cuadratico uno

Todo número ,entero ,positivo ,impar ,compuesto, que llamaremos
"N", tiene como mínimo cuatro cuadrados,menores que N, que ele-
vados al cuadrado generen como residuo cuadrático la unidad.
"A priori " conocemos dos de ellos : 1 ² ; ( N - 1 ) ²

El presente trabajo , que exponemos bajo el título de "Residuo cua-
drático uno", da a conocer los procedimientos a través de los cuales
es posible hallar los otros dos cuadrados menores que N , que tam-
bién generen el "1" como resto cuadrático . A su vez el conocer esto
nos proporciona :

1).-Saber los factores que dividen a "N". Factorización que tiene co-
mo base los cuadrados de Fermat.
2).-Nos informa de que la base de uno de los cuadrados , es igual a
la diferencia de dos números, que tiene de particular que al ser ele-
vados al cuadrado, sus congruencias son iguales a sus bases , módu-
lo "N".
3).-Proporciona mediante una simple operación , el hallar los 3º y
cuarto cuadrados que generan como residuo 2², 3² etc..
4).-Nos muestra la relación directa de los citados dos cuadrados,con
los cuadrados de factorización de Fermat.
5).-Por último pone a nuestra disposición las citadas propiedades o
peculiaridades , que pueden base de otros estudios.

Procedimientos para conocer los cuadrados que generan
como resto cuadrático la unidad.

Procedimiento A

N = impar, compuesto,positivo = A ² + B ² = C ² + D ²
planteamos la ecuación diofántica , N × c ─ B = A × e , y nos propor-
ciona que ,
e ² ≡ - 1 ( módulo N ) , e igualmente planteamos otra ecuación ,
N × d ─ D = f × C , en la que también, f² ≡ -1 ( módulo N )

multiplicamos, e² × f ² ≡ 1 ( módulo N )

Ejemplo :
N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ²
61317 c ─ 141 = 206 e , resolviendo la ecuación, e = 5747
por otra parte, 62317 d ─ 179 = 174 f ; f = 12534
5747² ≡ 62316 ( mód.62317 ) ; 12534² ≡ 62316 ( mod.62317)
5747 × 12534 = 56763 ( módulo 62317 )

56763 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )

En cuanto a la factorización del número 62317, las bases de los
cuatro cuadrados son :
62316 1 56763 5554

62316 - 56763 = 9 × 617 ; 62316 ─ 5554 = 562 × 101

N = 62317 = 617 × 101

Procedimiento B

Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números
consecutivos que tengan como factores entre otros a "x" "y" ,
N = x . y ; a . x = b . y ; d . x = e ( y + 1)
( b . y ) ² ≡ b . y ( módulo N ) ; ( d . x )² ≡ d . x ( módulo N )
( b . y - d . x ) ≡ 1 ( módulo N )

Ejemplo :
N = 62317 = 617 × 101 ; 617 a + 1 = 101 b ; b = 336 ;
336 × 101 = 33936 ; 617 a = 101 b +1 ; a = 46 ;
46 × 617 = 28382 ; 33936 ─ 28382 = 5554 ;
5554² ≡ 1 ( módulo 62317 ) ; 33936 ≡ 1 ( mód.62317 )

33936 ² ≡ 33936 ( mód.62317 )
28382 ²≡ 28382 ( mód.62317 )

Procedimiento C

Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat :
N = x . y F ² ─ N = f ² ; B . N ─ F = a . f

a ² ≡ 1 ( módulo N )

Ejemplo :
N = 62317 = 671 × 101 .-
Las bases de los cuadrados de Fermat son:
( 617 + 101 )/2 = 359 ; ( 617 ─101) = 258

62317 b ─ 258 = 359 a ; a = 5554

5554 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )