Ultimo Teorema de Fermat.-Demostracion.-Algebra

El presente estudio intenta demostrar el denominado "Ultimo Teo-
rema de Fermat". Las bases en que se fundamenta son los siguien-
tes :

1º).-Su punto de partida.- a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a + g = P ; P - C = Z
en el que "a" "g" "C" , son primos entre sí , "a" "g" "P" , también, y
por otra parte " n " es un número primo.

2º).-Planteamiento de 5 ecuaciones. - La conexión entre las 3 pri-
meras es el principal fundamento del estudio. La existencia de una
desigualdad o no validez de alguna de ellas , supondrá la demostra-
ción del "Teorema".

3º).-Para la validez de las 5 ecuaciones , es preciso que , tanto "a"
como "g " ,tengan factores comunes con "Z".

4º).-Imposibilidad de que "a", "g" tengan factores comunes con Z.

Imposibilidad de que se cumpla , a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ

En relación con los valores arriba citados, a ,g ,n ,C , se pueden dar
los siguientes casos :

1º).-Que "n" sea número compuesto.

2º).-Que "n" sea número primo.

3º).-Que a , g , C , tengan divisores comunes.

4ª).-Que a , g , C , sean primos entre sí.

Supongamos que existiese una relación a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , en la que
" n "fuese un número compuesto.La igualdad no variaría dividien-
do el exponente " n " ,hasta convertirlo en número primo y al mis-
mo tiempo elevando los valores de a , g , C .
Si " n " fuese una potencia de " 2 " , reduciríamos los exponentes
" n " de "a" y de " g " , a la cuarta potencia y el exponente " n " de
" C " ,le reduciríamos a "dos". Pierre de Fermat demostró la impo-
sibilidad de descomponer un cuadrado en dos cuartas potencias.
De la misma manera , en el caso nª 3 , que a ,g , C tengan divisores
comunes, les dividiríamos por dichos factores , hasta que a , g , C
fuesen primos entre sí.

Es decir,que nuestro estudio parte de la posibilidad de que exista:
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , en la cual los valores a , g , C son primos entre sí,
y el exponente " n " es un número primo.
A la suma de las bases " a " " g " la llamaremos " P ". Naturalmen-
te , el valor de " C " , ha de ser inferior al de " P " . A la diferencia
entre " P " y " C " , la llamaremos " Z " .
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a + g = P ; P ─ C = Z
Como quiera que a , g , C son primos entre sí, igualmente a , g , P
lo tendrán que ser .
En base a lo expuesto, plantearemos unas ecuaciones , cuya vali-
dez es necesaria para demostrar la posibilidad de que :

a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ

De la misma manera consideramos que la existencia de una de-
sigualdad en cualquiera de las ecuaciones , es suficiente para de-
mostrar la imposibilidad a que hace referencia el "Ultimo Teore-
ma de Fermat" .

Ecuación nº 1

a + g = P ; P - g = a ; lo elevamos a la potencia " n " :
P ⁿ- nP ⁿ-¹ g +( )P ⁿ-² g ² - +..+ -( )P² g ⁿ-² + n Pg ⁿ-¹ =
= a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ

Ecuación nº 2

a + g = P ; P -a = g , lo elevamos a la potencia " n " :
P ⁿ ─ n P ⁿ-¹ a +( )P ⁿ-² a ² -+- + ─( ) P ² a ⁿ-² + n P a ⁿ-¹ =
= a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ

Ecuación nº 3

C + Z = P ; P ─ Z = C ; lo elevamos a la potencia "n".
Pⁿ ─nP ⁿ-¹ Z +( )P ⁿ-² Z²-+-+─ ( )P² Zⁿ-²+ nP Zⁿ-¹─ Z ⁿ = C ⁿ

Ecuación nº 4

Igualamos las ecuaciones nº 1 y nº 3 ,
─ n P ⁿ-¹ g + ( ) P ⁿ-² g ² + -+..-...─ ( ) P² g ⁿ-² + n P g ⁿ-¹=
= ─P ⁿ-¹ Z +( ) P ⁿ-² Z² ─....+..- ─( )P ² Zⁿ-² + n P Z ⁿ-¹ ─ Zⁿ

Ecuacion nº 5

Igualamos las ecuaciones nº 2 y nº 3 .
─nP ⁿ-¹ a + ( ) P ⁿ-² a ² - +.....-( ) P ² a ⁿ-² + n P a ⁿ-¹ =
─nPⁿ-¹Z +( )P ⁿ-²Z² -+...+..─ ( )P² Z ⁿ-² + n P Z ⁿ-¹ ─ Z ⁿ

La ecuación nº 4 B,podemos representarla como sigue :
nPⁿ-¹ (g-Z) - ( ) Pⁿ-² ( g² - Z² ) + ( ) P ⁿ-³( g³ - Z ³) +..+
- +( ) P² ( g ⁿ-² ─ Z ⁿ-² ) ─n P (g ⁿ-¹ - Z ⁿ-¹) = Z ⁿ
= K ⁿ Lⁿ p ⁿ n ⁿ t ⁿ
Esto nos muestra que "Z ⁿ" es múltiplo de "P", de "n" y tam-
bién de ( g - Z )
De la misma manera la ecuación nº 5 , la representaremos :

Ecuación nº 5 B
n Pⁿ-¹ ( a - Z ) ─ ( )Pⁿ-²( a² - Z² ) + ( )Pⁿ-³( a³ - Z³ ) -+...-..+
+ ( ) P²( a ⁿ-² - Zⁿ-² ) ─n P ( a ⁿ-¹ Z ⁿ- ¹) = Z ⁿ =
= K ⁿ L ⁿ N ⁿ p ⁿ t ⁿ

Igualmente , esto nos indica que "Z ⁿ" es múltiplo de"P" "n"
y también de " ( a - Z ) " .
Es decir que :
Z ⁿ = ( g - Z ) ( a - Z ) n P Y
Z ⁿ= ( a g - Z ( a + g ) + Z ² ) n P Y
Zⁿ = ( a g - Z P + Z ² ) n P Y
Zⁿ = [ a g - Z ( P - Z ) ] n P Y
Zⁿ = ( a . g - Z C ) n P Y

(recordemos que a , g , son primos entre sí con C , y también son
primos entre sí con P )
Vemos con ello que " a " ó "g" o ambas tienen divisores comunes
con Z.
Podíamos pensar que ( a , g - Z C ) = 1 .- Teniendo en cuenta que
a + g = P = Z + C , para que ( a . g - Z C ) = 1 , es preciso que a= g ,
lo cual no es posible , puesto que sabemos que "a" "g" son primos
entre sí.

A la última conclusión podemos llegar por un razonamiento más
simple ,
a + g = P ; a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a ⁿ = C ⁿ - g ⁿ
a ⁿ ha de ser divisible por la diferencia de las bases de C ⁿ - g ⁿ
a ⁿ = ( C - g ) X ; C = P - Z = a + g - Z
a ⁿ = ( a + g - Z ) X ; a ⁿ = ( a - Z ) X
esto exige que "Z" tenga divisores comunes con "a".

Empleando el mismo razonamiento , llegamos a la conclusión de
que "Z" tiene que tener divisores comunes con "g".
Con esto creemos demostrar que para que sea posible ,
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ, es preciso que "Z" tenga divisores comunes tanto
con " a " , como con " g " .

Posibilidades de que "a" ó "g" tengan divisor(es)
común(es)con Z.

A la vista de la ecuación nº 4 B,
n P ⁿ-¹(g - Z) ─ ( ) P ⁿ-²(g² - Z²) +..-......+( )P ² (gⁿ-²- Zⁿ-²) ─
─n P ( gⁿ-¹ - Zⁿ-¹ ) = Zⁿ = K ⁿ L ⁿ n ⁿ p ⁿ t ⁿ
Supongamos que " g " " Z " tengan como divisor común " K " ,
g = K . M ; Z = K . T ; sustituímos estos valores :
nPⁿ-¹ K (M-T) ─ ( )Pⁿ-² K² (M²-T²) +( )Pⁿ-³ K³ (M³-T³)-...+
+ ( ) P² Kⁿ-² ( Mⁿ-² - T ⁿ-²) ─ n P Kⁿ-¹( Mⁿ-¹ - Tⁿ-¹) = Kⁿ T ⁿ

Ahora pueden darse dos casos :

1º).-Que ( M - T ) no sea divisible por " K " .

2º).-Que ( M - T ) sea divisible por " K " .

En el primer caso,todos los sumandos de la ecuación a excepción
del primero son divisibles por "K ²",lo que indica la no validez de
la ecuación.
En el 2º caso ( M - T ) es divisible por " K " , como el resto de los
sumandos. Esta es la imposibilidad que a continuación en nuestro
trabajo , trataremos de demostrar.
Conviene tener en cuenta, que al ser " n " primo , todos los coefi-
cientes de los sumandos, ( ), ( ) ,.... son divisibles por " n " .

Unica posibilidad de que a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ

Esta se limita a :

1º).-Que " Z " tenga factores comunes con " a " y con " g ".

2ª).-Que las relaciones sean :
g─ Z = K ; g = K . M ; Z = K L n p t , o bien
g ─ Z = nˣⁿ-¹ ; g = n ˣ . M ; Z = n ˣ L p t
g - Z = n ˣⁿ-¹ . K ⁿ ; g = n ˣ . K . M ; ; Z = n ˣ K L p t
y por otra parte , la relación entre "a" y " Z "
a ─ Z = L ⁿ ; a = L . R

Relación entre " Z " y "a " " g "

1º).-Los factores comunes , si son potencias, serán del mismo grado.

2º).-Consecuencia de lo anterior, "Z" no puede contener todos los
factores de "a" , ni los de " g".

3º).-El valor de la diferencia,
( g - Z ) no podrá ser congruente cero , módulo F.
( g - Z ) solo será congruente cero , con módulo " K " ó (y) n.

Divisores de las ecuaciones

A la vista de las ecuaciones n º 1 , 2 y 3 ,
P ─ C ≡ 0 ( módulos n , P , g , a , Z )
Pero mientras que en las dos primeras ecuaciones el origen de
C ⁿ es , a ⁿ + g ⁿ , (imposibilidad que tratamos de demostrar ),
en la tercera, procede de la diferencia entre P ─ Z .
El fundamento de nuestro estudio no es otro que mostrar la in-
compatibilidad de valores , uniendo las 2 primeras ecuaciones
con la tercera.

Factores de " Z "

El origen del valor de " Z " , es ,
K y ó n = factor(es) comun(es) con " g ".
L = factor común con "a"
"p " " n " , contiene siempre estos factores. (ver ecuación 4).
t = resto de valores . ( valor desconocido )
" Z " siempre es par. Todos estos factores, a excepción de "n"
pueden ser primos o compuestos.

Imposibilidad de que P = a + g , sea múltiplo de " n "

Observando cualquiera de las 5 ecuaciones base,por ejemplo la
nº 1 , llegamos a la conclusión de que ,
C ⁿ ≡ 0 ( módulo P ) , así como que, P = p ⁿ
A la vista de las ecuaciones nº 1 al 3 .
C ⁿ ≡ 0 ( módulo p ⁿ) ,y no divisible por " p " elevado a " (n+1)".
C = p.e ; e = valor desconocido ; C ⁿ = p ⁿ . e ⁿ
en el caso de que "p" fuese múltiplo de "n" , si dividimos la ecua-
ción por "P" ,todos los sumandos de la ecuación serían divisibles
por "n" , a excepción de "e ⁿ". Con esto sabemos que "P" no con-
tiene el valor " n " .
Si recordamos que C = P - Z , y que " Z " es múltiplo de "n" , "C"
tampoco es divisible por "n".

Relación entre "P" "C", con "n"

Dividiendo la 3ª ecuación por "P", queda ,
P ⁿ-¹ ─n P ⁿ-² Z + ( ) P ⁿ-³ Z² + .-.. +n Z ⁿ-¹ ─ Z ⁿ / P = e ⁿ
podemos llegar a las siguientes conclusiones ,para que no se anu-
le la ecuación :
P ⁿ-¹ ≡ 1 ( módulo n ) ; luego , e ⁿ ≡ 1 ( módulo n )
e ⁿ = e ⁿ-¹ . e = ( 8 n j + 1) e ; e ≡ 1 ( módulo n )
e ⁿ ≡ 1 ( módulo n ² ) ; asímismo P ⁿ-¹≡ 1 ( módulo n ² )
P = p ⁿ ≡ 1 ( módulo n ² ) ; p ≡ 1 ( módulo n )
Como quiera que tanto "P" , como "C" son función del valor de
" Z ", los valores citados son válidos para Z ≡ 0 ( módulo n ),es
decir , pueden ser no válidos para Z ≡ 0 ( mód.n ˣ ) , para " x"
mayor que uno.
Más adelante veremos que es condición necesaria para que "Z"
sea múltiplo de " n ˣ ",que este "n ˣ " sea factor común con "g".

Imposibilidad de L ⁿ+ K ⁿ + 2 Z = P = p ⁿ

En base a que :
P- Z = C ; si P ≡ 1 ( módulo n ² ) ; y además Z ≡ 0 ( módulo n )
obliga a que . C ⁿ ≡ 1 ( módulo n² ) = n ² J + 1 ;
J = valor desconocido

Como sabemos , el otro valor de "C" , es función de los valores de
"a" " g ", será :
g = K . M ; g = K ⁿ + K L n p t ; M = K ⁿ-¹ + L n p t
M = n ˣ s + 1 ;
a = L . R ; a = L ⁿ + K L n p t ; R = L ⁿ-¹+ K n p t
R = n ˣ f + 1
K . M = g = K (n ˣ s + 1 ) = K n ˣ s + K = g
L . R = a = L ( n ˣ f + 1 ) = L n ˣ f + L = a
g ⁿ= ( K n ˣ s + K ) ⁿ = n ˣ n K q + K ⁿ........ ( 1 )
a ⁿ= ( L n ˣ f + L ) ⁿ = n ˣ n L w + L ⁿ........ ( 2 )
según sabemos, ( K ⁿ + L ⁿ) ≡ 1 ( mód, n ), pero no es múlti-
plo de " n ² " , más la unidad.
K ⁿ + L ⁿ +2 K L n p t = P = p ⁿ
sumando los valores arriba reseñados (1) (2) de a ⁿ + g ⁿ es
≡ 1 ( módulo n )
pero no ≡ 1 ( módulo n ²). Este valor de " C ⁿ "no coincide con
el calculado en función de "P" "Z", que era de C ⁿ = n ² J + 1
Con ello queda demostrada la imposibilidad del enunciado.

Imposibilidad de K ⁿ + L ⁿ + 2 K L n ˣp T = P = p ⁿ

Como vemos , este caso se diferencia del anterior exclusiva-
mente en que " Z " es divisible por " n ˣ " ,en vez de solamente
por " n " .
Teniendo en cuenta que :
p ⁿ = P ≡ 1 ( módulo n ʸ ) . Si 2 Z ≡ 0 ( módulo n ˣ ) , en la que
tanto " x " como " y " son mayores que la unidad, para que sea
válida la ecuación ,tendrá que darse el caso de que,

( K ⁿ + L ⁿ ) ≡ 1 ( módulo n ˣºʸ )
A continuación vamos a ver si es posible este caso :

P ≡ 1 ( módulo n ʸ ) ;..................( K + L ) ≡ 1 ( módulo n ʰ )
K = n ʰ . f - ( L - 1 )
K ⁿ = n ʰ⁺¹ . f H + n f L - L ⁿ + 1
K ⁿ + Lⁿ = n ʰ⁺¹ f H + n f L + 1 , que no es múltiplo de n ² , más
la unidad.
Conviene tener en cuenta , que ( L - 1) nunca podrá ser múlti-
plo de "n" , porque si así fuera, sería necesario que K ≡ 0 ( mó-
dulo n )
Lo que supondría que el factor común entre "g" "Z" sería "n".
Como sabemos , en este caso el factor común entre "g" "Z" es
K.

Creemos queda demostrada la imposibilidad a que hace refe-
rencia,
L ⁿ + K ⁿ + 2 K L n ˣ p t = P

Imposibilidad de n ˣⁿ-¹ + L ⁿ + 2 n ˣ L p t = P = p ⁿ

A continuación vamos a demostrar la imposibilidad de que "g"
sea múltiplo de "n", o lo que es lo mismo , que el factor común
de"g" y de "Z" sea " n ". Consideramos que el factor común de
" a " y de " Z ", es " L " .
g = n ˣ. M ; g - Z = n ˣⁿ-¹ ; Z = n ˣ L p t ; g = n ˣⁿ-¹ + n ˣ L p t
a = L . R ; a - Z = L ⁿ ; a = L ⁿ + n ˣ L p t
estos valores de "a" "g", determinan la ecuación del enunciado.
En la página 9 ,al tratar de la relación entre " P " " C " con "n",
hicimos constar que "p" , "P" , P ⁿ, son ≡ 1 ( mód.n ). Ello obliga
a que también L ⁿ ≡ 1 ( módulo n ).
Por otra parte, podemos matizar, según la ecuación nº 4 B ,los
valores de Z :
Z ⁿ = L ⁿ p ⁿ n ˣⁿ t ⁿ
y dividiendo dicha ecuación por " n ˣⁿ " , al ser P ⁿ-¹ ≡ 1 ( mod.
n ʸ ) , nos indica que L ⁿ p ⁿ t ⁿ ≡ 1 ( módulo n ʸ ) . Según esto ,
los nuevos valores son :
Z ⁿ = n ˣⁿ⁺ˣ + n ˣⁿ ; Z = n ˣ L p t = F n ²ˣ-¹ + n ˣ
Asímismo en dicha página 9 ,y con referencia a la ecuación nº3
indica ,
P - Z = C ; C = p .e ; C ⁿ = p ⁿ . e ⁿ ;
Si P ≡ 1 ( mód. n ˣ )..........p ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹) ; no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
P ⁿ-¹≡ 1 ( mod. n ˣ )........e ⁿ ≡ 1 ( mod. n ˣ ) ; no ≡ 1 ( mod. n ˣ⁺¹ )
Si e ⁿ ≡ 1 ( mod. n ˣ )......e ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹ ); no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
Si p ≡ 1 ( mód.n ˣ-¹ ).....e ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹ ); no ≡ 1 ( mod. n ˣ )

como quiera que , C = p . e , si p =(n ˣ-² d + n ˣ-¹ h + 1 ), y
por otra parte , si e = nˣ-² j + n ˣ-¹ q + 1 , obliga a que ,
( h + q ) = n .Esto último supone que si,
p = n²ˣ-² Q + n ˣ⁺¹ j + n ˣ d + n ˣ-¹ h + 1 ; "d" menor que n ;
"h" menor que " n"
P ⁿ-¹ = n ²ˣ-¹ H + nˣ⁺³ j + n ˣ⁺² u + nˣ⁺¹ (h-d) - n ˣ h + 1 e =
=n ²ˣ-² w + n ˣ⁺¹ r + n ˣ i + n ˣ-¹ q + 1 ; "i" menor que " n " .

e ⁿ= n²ˣ-¹ y + n ˣ⁺² S + n ˣ⁺¹ i + n ˣ q + 1
P ⁿ-¹ - e ⁿ = n ²ˣ-¹ B + n ˣ⁺² D + n ˣ⁺¹ ( h - d - i - 1)

Dividiendo la ecuación nº 3 por " p ⁿ " ,
Pⁿ-¹ - P ⁿ-² n Z +............+...... = e ⁿ
como P ⁿ-² ≡ 1 ( mód. n ʸ )
─ P ⁿ-² n Z = ─ ( n ²ˣ⁺ʸ S + nˣ⁺ʸ⁺¹ J + n ˣ⁺ʸF + n ˣ⁺¹ )
Resumiendo,
P ⁿ-¹ ─ e ⁿ ─Pⁿ-² n Z = n ˣ⁺ʸ W + n ˣ⁺² D + n ˣ⁺¹ (h-d-i-1-1 )
ya hemos indicado que tanto "h" , como "d" , como "i" ,son va-
lores menores que "n".
Suponiendo que ( h-d-i-1-1 )= 0
( P ⁿ-¹ - e ⁿ- P ⁿ-² n Z ) es solo ≡ 0 ( módulo n ˣ⁺² )
el siguiente sumando de la ecuación nº3 es ,(ya dividido por P) :

(n-1) /2 ( n ʸ Q + 1 ) (n ²ˣ⁺²ʸ-²F ² + 2 n²ˣ⁺ʸ-¹ + n²ˣ ) n =
=[ n (n-1)/2 ] P ⁿ-³ Z ² , es decir , que el primer sumando es
congruente cero , para módulo n ²ˣ⁺¹ 1

Con ello queda demostrada la imposibilidad de la ecuación del
enunciado.
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Otra demostración que ratifica la imposibilidad de la ecuación.
es decir de , nˣⁿ-¹ + Lⁿ + 2 n²ˣ-¹ F + 2 n ˣ = pⁿ = P , sería :

Damos a " L ⁿ " el valor ,
L ⁿ = n²ˣ-¹J + nˣ⁺² j + nˣ⁺¹d + n ˣ ( h-2) + 1
ya dijimos que Z = n ˣ L p t =n²ˣ-¹ F + nˣ.Teniendo en cuenta es-
tos valores,
p ⁿ= nˣⁿ-¹ + n²ˣ-¹ J + nˣ⁺² j + nˣ⁺¹d + nˣ ( h-2) + 1 + 2n²ˣ-¹F +
+ 2 nˣ

según esto, los valores de "p", y de "L" ,serían :
p = n²ˣ-² Q + nˣ⁺¹ j + nˣ d + nˣ-¹ h + 1
L = n²ˣ-² H + nˣ⁺¹ j + n ˣd + n ˣ-¹(h-2) + 1 , y por tanto
( p - L ) = n²ˣ-²( Q - H ) + 2 n ˣ-¹ ; Q - H = W

elevado a "n" :
p ⁿ - Lⁿ - n p L ( p -L ) S = [ nˣ -¹ ( n ˣ-¹ w + 2 ) ] ⁿ
p ⁿ = nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f + n r + 2 ) + L ⁿ + n p L (p- L) S
a la vista de esta ecuación y la del enunciado ,
nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f + n r + 2 ) - n ˣⁿ-¹ ≡ 0 ( módulo p )
hemos de hacer constar que " f " tiene un valor elevado,toda vez
que ,
nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f +n r + 2 ) es mayor que nˣⁿ-ⁿ ;
nˣⁿ-ⁿ w ⁿ , es mayor que n ˣⁿ-¹
pues bien ,
nˣⁿ-ⁿ⁺ˣ f + nˣⁿ-ⁿ⁺¹ r + nˣⁿ-ⁿ . 2 - n ˣⁿ-¹ es diferente a p . B
teniendo en cuenta que ,
p = n²ˣ-² Q + n ˣ⁺¹ j + n ˣ d + n ˣ-¹ h + 1
y aunque demos a "B" los valores ,
B = nˣⁿ-ⁿ i , para " i " menor que "n" , o bien ,
B = n ˣⁿ-ⁿ . n . i + n ˣⁿ-ⁿ. b , para "b" menor que "n"

queda demostrada la imposibilidad a la que este apartado hace
referencia.

Imposibilidad de nˣⁿ-¹ K ⁿ + L ⁿ + 2 n ˣK L p t = p ⁿ = P

En este caso los valores serían :
g = n ˣ K M ; Z = n ˣ K L p t ; g - Z = n ˣⁿ-¹ Kⁿ
a = L . R ; a - Z = L ⁿ ; a = L ⁿ + nˣ K L p t
A la vista de la ecuación 4 B , y siguiendo la misma operativa del
apartado anterior, conocemos que ,
Z = n ²ˣ-¹ F + n ˣ
Otro tanto podemos decir de los valores "p", "L" , con lo que,
pⁿ = nˣⁿ-¹ K ⁿ + n²ˣ-¹ J + n ˣ⁺² j + n ˣ⁺¹ d + n ˣ ( h-2) +
+ 2 n²ˣ-¹ F + 2 n ˣ = P
en función de los valores de "p" y de "L" ,
( p - L ) ⁿ = ( n ²ˣ-² W + 2 n ˣ-¹ ) ⁿ
de este desarrollo restaríamos nˣⁿ-¹ K ⁿ , en vez de n ˣⁿ-¹,
nˣⁿ-ⁿ⁺ˣ f + nˣⁿ-ⁿ⁺¹ r + n ˣⁿ-ⁿ . 2 - nˣⁿ-¹ K ⁿ , es diferente
de p . B
por los motivos indicados en el anterior apartado.

Con todo ello hemos demostrado la imposibilidad de,
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , cuando los factores comunes de "g" "Z"
son n ˣ K , y por otra parte , el factor común entre "a" "Z" es
"L" .-