Marin Mersenne ( 8-9-1588 a 1-9-1648),francés,filósofo,francis-
cano y matemático.-Pierre de Fermat (17-8-1601 a 12-1-1665)
francés,abogado y también matemático.
Marin Mersenne mantenía correspondencia con Descartes,Fermat
Galileo y otros matemáticos.-Pierre de Fermat solo mantenía rela-
ción y correspondencia con Mersenne.-A través de éste,Fermat in-
formaba de sus progresos matemáticos.
En el año 1641 Mersenne publicó un trabajo en el que dió a conocer
lo que desde entonces se conocería como los "números primos de
Mersenne".-Con dicho estudio demostró que :
"El número 2 elevado a la potencia P,(P=primo) restado la unidad ,
a veces, no siempre , es igual a un número primo:
2³ -1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 31 ; 2⁷ - 1 = 127 ;
pero (2¹¹ - 1 ) no es igual a número primo , es igual a 23 x 89
Desconocemos la demostración de Mersenne.- Una demostración
válida podría ser :
2 ⁿ - 1 = x ; 2 ⁿ = x + 1 ; multiplicado por 2 ⁿ, restamos la unidad ,
2²ⁿ -1 = 2 ⁿ x + 2 ⁿ - 1 ; 2²ⁿ - 1 = 2 ⁿ x + x , multiplicamos por 2 ⁿ
2³ⁿ - 1 = 2²ⁿ x + 2 ⁿ x + ( 2 ⁿ - 1 ).-Con esto se demuestra que:
1º.- ( 2 ʸⁿ - 1 ), no puede ser primo .
2º.-Que ( 2 ʸⁿ - 1 ) tendrá los divisores de 2 ⁿ - 1 y los de 2 ʸ - 1 ,
entre otros.
3º.-Que "2" elevado a una potencia "P",(P=primo),puede ser nú-
mero primo,conocido como "primo de Mersenne".
En cuanto a Pierre de Fermat , propuso la siguiente conjetura :
"El número "2" elevado a una potencia de "2" y sumado la unidad
es siempre número primo ".
Esta conjetura es válida para "2" elevado a las potencias 2,4,8 y 16
pero falla con "2" elevado a la potencia 32, más la unidad.
El fundamento de esta conjetura podría ser :
2 ⁿ + 1 = x ; multiplicado por 2² ⁿ ; 2 ³ⁿ + 2² ⁿ = 2 ² ⁿ x ;
2³ ⁿ = 2 ⁿ x - 2²ⁿ
2³ ⁿ + 1 = 2²ⁿ x - (2² ⁿ - 1 ) ; (2²ⁿ - 1) ≡ 0 ( módulo x ) , porque
2 ⁿ + 1 = x ;2²ⁿ + 2 ⁿ = 2 ⁿ x ; ( 2²ⁿ - 1) + ( 2 ⁿ + 1 ) = 2 ⁿ x
como 2ⁿ + 1 = x ; ( 2²ⁿ - 1) ≡ 0 ( módulo x ) , luego
2³ⁿ +1 ≡ 0 ( módulo x )
Como quiera que todo número no potencia de "2" ,es de la forma:
n = t ( 2 m + 1 ),siguiendo el mismo proceso llegaríamos a la con-
clusión de que :
1º.-( 2 ⁿ + 1 ) no puede ser número primo cuando n = t ( 2 m + 1 ),
es decir, "n" no es potencia de "2".
2º.-Que ( 2ⁿ + 1 ) tendrá como divisores los de 2 elevado a "t" más
la unidad.
3º.-Que ( 2ⁿ + 1 ) ,cuando "n" es potencia de "2",puede ser un nú-
mero primo.
Después de estas consideraciones, da la impresión de que los núme-
ros primos de Mersenne y los de Fermat, son fruto de la investiga-
ción de un mismo matemático.
Mersenne pudo ver pronto que "2" elevado a "P" menos uno , no ori-
ginaba número primo, en un número bajo, el 2047.
2¹¹ -1 = 2047 = 23 x 89
Fermat lo tenía más dificil,pues su conjetura falló en el número :
4.294.967.297 = 641 x 6.700.417
Por último podemos decir, si bien 2 ⁿ + 1 ,para todo valor de "n"
positivo , origina el producto de determinados números primos,
ejemplo:
2¹⁴+ 1 = 5 x 29 x 113
( 2 ⁿ -1 ) , para todo valor de "n", (de cero a infinito ), comprende el
producto de todos los números primos . Esto fué demostrado por el
matemático Fermat en su teorema :
2 elevado a "P-1",(P=primo) es congruente la unidad , módulo dicho
número primo .
domingo, 14 de septiembre de 2008
GRUPOS DE NUMEROS PRIMOS
Los números primos podemos agruparlos siguiendo infinidad de
criterios. Nosotros vamos a hacerlo en función de sus congruen-
cias , módulo 24.
Así podemos establecer , (relacionados de 1 a 1000) cuatro gru-
pos :
Grupo nº 1
11-19-43-59-67-83-107-131-139-163-179-211-227-251-283-
307-331-347-379-419-443-467-491-499-523-547-563-571-
587-619-643-659-683-691-739-787-811-827-859-883-907-
947-971 (falta el 3 )
Estos números son congruentes 11 ó 19 , módulo 24.
No son suma de cuadrados.
Grupo nº 2
5-13-29-37-53-61-101-109-149-157-173-181-197-229-269-277
293-317-349-373-389-397-421-461-509-541-557-613-653-661
677-701-709-733-757-773-797-821-829-853-877-941-997
Estos números son congruentes 5 ó 13 , módulo 24.
Todos son suma de cuadrados.
Grupo nº 3
7-23-31-47-71-79-103-127-151-167-191-199-223-239-263-271
311-359-367-383-431-439-463-479-487-503-599-607-631-647
719-727-743-751-823-863-887-911-919-967-983-991
Estos números son congruentes 7 ó 23 . módulo 24.
No son suma de cuadrados.
Grupo nº 4
17-41-73-89-97-113-137-193-233-241-257-281-313-337-353
401-409-433-449-457-521-569-577-593-601-617-641-673-
761-769-809-857-881-929-937-953-977
Estos números son congruentes 1 ó 17 , módulo 24.
Todos son suma de cuadrados.
criterios. Nosotros vamos a hacerlo en función de sus congruen-
cias , módulo 24.
Así podemos establecer , (relacionados de 1 a 1000) cuatro gru-
pos :
Grupo nº 1
11-19-43-59-67-83-107-131-139-163-179-211-227-251-283-
307-331-347-379-419-443-467-491-499-523-547-563-571-
587-619-643-659-683-691-739-787-811-827-859-883-907-
947-971 (falta el 3 )
Estos números son congruentes 11 ó 19 , módulo 24.
No son suma de cuadrados.
Grupo nº 2
5-13-29-37-53-61-101-109-149-157-173-181-197-229-269-277
293-317-349-373-389-397-421-461-509-541-557-613-653-661
677-701-709-733-757-773-797-821-829-853-877-941-997
Estos números son congruentes 5 ó 13 , módulo 24.
Todos son suma de cuadrados.
Grupo nº 3
7-23-31-47-71-79-103-127-151-167-191-199-223-239-263-271
311-359-367-383-431-439-463-479-487-503-599-607-631-647
719-727-743-751-823-863-887-911-919-967-983-991
Estos números son congruentes 7 ó 23 . módulo 24.
No son suma de cuadrados.
Grupo nº 4
17-41-73-89-97-113-137-193-233-241-257-281-313-337-353
401-409-433-449-457-521-569-577-593-601-617-641-673-
761-769-809-857-881-929-937-953-977
Estos números son congruentes 1 ó 17 , módulo 24.
Todos son suma de cuadrados.
jueves, 4 de septiembre de 2008
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 8
16 x ⁵ - 817 y ³ = 223.835.312
233.835.312 ≡ 188 ( módulo 817 );..............módulo 817
............................................................-------------------------
817 + 16 = 833..................................833........................1
dividido por 10.................................165........................572
dividido por 5......................................33....................... 768
dividido por 11......................................3........................ 664
dividido por 3....................................... 1........................ 766
multiplicado por 188.........................188....................... 216
817 = 43 x 19 ; 216 ≡ 1 ( módulo 43 ).......216 ≡ 7 ( módulo 19 )
1 ⁵ ≡ 1 ( módulo 43 )................................11⁵ ≡ 7 ( módulo 19 )
1 - 11 = - 10 ; a = [19 b -(-10)] : 43 = 2
2 x 43 = 86 ; 86 - (-1) = 87
x = 87................................................... y = 460
233.835.312 ≡ 188 ( módulo 817 );..............módulo 817
............................................................-------------------------
817 + 16 = 833..................................833........................1
dividido por 10.................................165........................572
dividido por 5......................................33....................... 768
dividido por 11......................................3........................ 664
dividido por 3....................................... 1........................ 766
multiplicado por 188.........................188....................... 216
817 = 43 x 19 ; 216 ≡ 1 ( módulo 43 ).......216 ≡ 7 ( módulo 19 )
1 ⁵ ≡ 1 ( módulo 43 )................................11⁵ ≡ 7 ( módulo 19 )
1 - 11 = - 10 ; a = [19 b -(-10)] : 43 = 2
2 x 43 = 86 ; 86 - (-1) = 87
x = 87................................................... y = 460
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 7
7x ⁴ - 851 y ² = 34.151
34.151 ≡ 111 ( módulo 851 ).........................módulo 851
851 = 23 x 37 ;...............................-----------------------------
851 + 7 =858....................................858...............................1
dividido por 2...................................429............................426
dividido por 3...................................143.............................142
dividido por 11....................................13............................245
dividido por 13.....................................1.............................608
multiplicado por 111........................111.............................259
259 ≡ 0 ( módulo 37 ) ; 259 ≡ 6 ( módulo 23 )
37 ⁴≡ 0 ( módulo 37 )...........................9⁴≡ 6 ( módulo 23 )
37 - 9 = 28; a = (37 b - 28 ) : 23 = 2
2 x 23 = 46 ; 46- 9 = 37 ;
x = 37.....................................................y = 124
34.151 ≡ 111 ( módulo 851 ).........................módulo 851
851 = 23 x 37 ;...............................-----------------------------
851 + 7 =858....................................858...............................1
dividido por 2...................................429............................426
dividido por 3...................................143.............................142
dividido por 11....................................13............................245
dividido por 13.....................................1.............................608
multiplicado por 111........................111.............................259
259 ≡ 0 ( módulo 37 ) ; 259 ≡ 6 ( módulo 23 )
37 ⁴≡ 0 ( módulo 37 )...........................9⁴≡ 6 ( módulo 23 )
37 - 9 = 28; a = (37 b - 28 ) : 23 = 2
2 x 23 = 46 ; 46- 9 = 37 ;
x = 37.....................................................y = 124
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 6
58 x⁴- 39 y = 811
811 : 58 = 13,90 ; raíz cuarta de 13,90.......................1,93 aprox.
58- 39 = 19........................................................módulo 39
...............................................................--------------------------
Diferencia de coeficientes............................19.................1
dividido por 19.............................................. 1................37
multiplicado por 31...................................... 31...............16 ó 29
16 elevado a la cuarta potencia es congruente 16,módulo 39
x = 16....................................................y = 97.443
x =(16+ 39 ) = 55................................y = 13.608.601
811 : 58 = 13,90 ; raíz cuarta de 13,90.......................1,93 aprox.
58- 39 = 19........................................................módulo 39
...............................................................--------------------------
Diferencia de coeficientes............................19.................1
dividido por 19.............................................. 1................37
multiplicado por 31...................................... 31...............16 ó 29
16 elevado a la cuarta potencia es congruente 16,módulo 39
x = 16....................................................y = 97.443
x =(16+ 39 ) = 55................................y = 13.608.601
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 5
30 x ² - 22 y ² = 99.912
99.912 ≡ 10 ( módulo 22 ).....................módulo 22
...............................................-------------------------------
coeficiente de "x ² ........................ 30..................... 1
dividido por 3 .................................10..................... 15
15 tiene que ser resto cuadrático , módulo 22.
13 ² ≡ 15 ( módulo 22 )
99912 : 30 = 3.330.40.................su raíz cuadrada aprox..>57
(22 x 7 ) + 13 = 167 ;............... x = 167............... y=183 ,
obtendríamos el mismo resultado :
99912 ≡ 12 ( módulo 30 )....................., módulo 30
..........................................................--------------------------
coeficiente de " y ²"............................ 22...................... 1
dividido por 11....................................... 2..................... 11
multiplicado por 9.................................18.......... .......... 9
n ² ≡ 9 ( módulo 30 ) ; 3² ≡ 9 ( módulo 30 )
x = 167........................................ y = 183
otros valores serían :
x = (22 x 9 ) + 13 = 211.......................y = 237
x =(22 x 30) + 13 = 673......................y = 783
99.912 ≡ 10 ( módulo 22 ).....................módulo 22
...............................................-------------------------------
coeficiente de "x ² ........................ 30..................... 1
dividido por 3 .................................10..................... 15
15 tiene que ser resto cuadrático , módulo 22.
13 ² ≡ 15 ( módulo 22 )
99912 : 30 = 3.330.40.................su raíz cuadrada aprox..>57
(22 x 7 ) + 13 = 167 ;............... x = 167............... y=183 ,
obtendríamos el mismo resultado :
99912 ≡ 12 ( módulo 30 )....................., módulo 30
..........................................................--------------------------
coeficiente de " y ²"............................ 22...................... 1
dividido por 11....................................... 2..................... 11
multiplicado por 9.................................18.......... .......... 9
n ² ≡ 9 ( módulo 30 ) ; 3² ≡ 9 ( módulo 30 )
x = 167........................................ y = 183
otros valores serían :
x = (22 x 9 ) + 13 = 211.......................y = 237
x =(22 x 30) + 13 = 673......................y = 783
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 4
123 x³ - 85 y = 330.201.002
330.201.002 ≡ 57 ( módulo 85 ) ; módulo 85
123 - 85 = 38 ;..................... --------------------------
123 - 85.............................................. 38............. 1
divid.por 2.......................................... 19............. 43
multipl.por 3....................................... 57............ 44
n ³ ≡ 44 ( módulo 85 ) ; n = 54 ; 54³ ≡ 44 ( módulo 85 )
330.201.002 : 123 = 2684560,99...su raíz cúbica aprox...> 139
54 + 85 = 139 = x......................................... y = 1531
54 + (2x85) = 224 = x.................................. y = 12.379.390
54 + ( 3 x 85 ) = 309 = x.............................. y = 38.808.769
330.201.002 ≡ 57 ( módulo 85 ) ; módulo 85
123 - 85 = 38 ;..................... --------------------------
123 - 85.............................................. 38............. 1
divid.por 2.......................................... 19............. 43
multipl.por 3....................................... 57............ 44
n ³ ≡ 44 ( módulo 85 ) ; n = 54 ; 54³ ≡ 44 ( módulo 85 )
330.201.002 : 123 = 2684560,99...su raíz cúbica aprox...> 139
54 + 85 = 139 = x......................................... y = 1531
54 + (2x85) = 224 = x.................................. y = 12.379.390
54 + ( 3 x 85 ) = 309 = x.............................. y = 38.808.769
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 3
311 x - 137 y = 10568
10568 ≡ 19 ( módulo 137 ) ; 311 n ≡ 19 ( módulo 137 )
311 x 3 ≡ 111 ( módulo 137 ) ; 311 x 4 ≡ 11 ( módulo 137 )
311 x 36 ≡ 99 ( módulo 137 )
311 x 101 ≡ 38 ( módulo 137 ) ; 311 x (101 +137)/2 = 311 x 119
311 x 119 ≡ 19 ( módulo 137 )
x = 11................................................. y = 193
x = 119 + 137 = 256 ; y = 193 + 311 = 504
x = 119 + ( 2 x 137 ) = 393 ; y = 193 + ( 2 x 311 ) = 815
10568 ≡ 19 ( módulo 137 ) ; 311 n ≡ 19 ( módulo 137 )
311 x 3 ≡ 111 ( módulo 137 ) ; 311 x 4 ≡ 11 ( módulo 137 )
311 x 36 ≡ 99 ( módulo 137 )
311 x 101 ≡ 38 ( módulo 137 ) ; 311 x (101 +137)/2 = 311 x 119
311 x 119 ≡ 19 ( módulo 137 )
x = 11................................................. y = 193
x = 119 + 137 = 256 ; y = 193 + 311 = 504
x = 119 + ( 2 x 137 ) = 393 ; y = 193 + ( 2 x 311 ) = 815
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 2
47 x ² - 179 y = 1.137.550
1.137.550 ≡ 5 ( módulo 179 )
47 x ² = 47 n ; 47 n ≡ 5 ( módulo 179 )
probamos ,
47 × 4 ≡ 9 ( módulo 179 ) ; 47 × 80 × 5 ≡ 5 ( módulo 179 )
47 × 8 ≡ 18 ( módulo 179 ) ; 47 × 42 ≡ 5 ( módulo 179 )
47 × 76 ≡ 171 ( módulo 179 ) ; n = 42
47 × 80 ≡ 1 ( módulo 179 ) ;
14 ² ≡ 17 (módulo 179 ) ; 15 ² ≡ 46 ( módulo 179 )
los residuos cuadráticos serán sucesivamente,
17-46-77-10-145-182-42...
42 corresponde a 20 ² ; 20 ² ≡ 42 ( módulo 179 )
159 ² ≡ 42 ( módulo 179 )
x = 159.................................... y = 283
x = 20................................................y = - 62,50
igualmente serían soluciones válidas,
x = ( 20 ó 179 ) + 179 a
lunes, 1 de septiembre de 2008
ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 1
7 x² - 36 x - 153 y = 448
igualamos a cero , 7 x² - 36 x - ( 448 + 153 y ) = 0
x = 36 ± ( 1296 + 12544 + 4284 y ) ¹/ ² : 14 ;
12544 + 1296 ≡ 988 ( módulo 4284 )
4284 = 7 x 9 x 34 x 2 = 63 x 68
988 ≡ 43 ( módulo 63 ) ; 988 ≡ 36 ( módulo 68 )
13 ² ≡ 43 ( módulo 63 ) ; 62² ≡ 36 ( módulo 68 )
62- 13 = 49 ; a = ( 68 b - 49 ) : 63 = 37
37 x 63 = 2331 ; 2331 - 13 = 2318
2318 ² ≡ 988 ( mód. 4284 ) ; 1966 ² ≡ 988 ( mód. 4284 )
x = ( 36 ± 2318 ) : 14 = - 163 ; + 168,42 ;
x = ( 36 ± 1966 ) : 14 = + 143 ; - 137,85 ;
soluciones enteras ,
x = 143...................................... y = 899
x = - 163....................................... y = 1251
ahora consideramos los factores de 4284 ,
4284 = 36 x 119
988 ≡ 16 ( módulo 36 ) ; 988 ≡ 36 ( módulo 119 )
4 ² ≡ 16 ( módulo 36 ) ; 6 ² ≡ 36 ( módulo 119 )
6 - 4 = 2 ; a = (119 b - 2 ) : 36 = 33 ; ( 33 x 36 ) - 4 = 1184
1184² ≡ 988 ( módulo 4284 ) ; y el complemento ,
3100² ≡ 988 ( módulo 4284 )
x = ( 36 ± 1184 ) : 14 = + 858,57 , - 82
x = ( 36 ± 3100 ) : 14 = + 224 , - 218,85 ;
soluciones enteras :
x = - 82.................................... y = 324
x = 224.................................... y = 2240
igualmente, tomando ,
4284 = 28 x 153 ;
988 ≡ 8 ( módulo 28 ) ; 988≡ 70 ( módulo 153 )
6² ≡ 8 ( módulo 28 ) ; 23²≡ 70 ( módulo 153 )
23 - 6 = 17 ; a = ( 153 b - 17 ) :28 = 136 ;
( 136 x 28 ) - 6 = 3802
3802 ² ≡ 988 ( módulo 4284 ) ;así como el complemento ,
482 ² ≡ 988 ( módulo 4284 )
x = ( 36 ± 3802 ) : 14 = + 274,14 , - 269 ;
x = ( 36 ± 482 ) : 14 = + 37 , - 31,85
soluciones enteras ,
x = 37.............................................. y = 51
x = - 269.............................................. y = 3371
lunes, 26 de mayo de 2008
Ultimo Teorema de Fermat.-Demostracion.-Algebra
El presente estudio intenta demostrar el denominado "Ultimo Teo-
rema de Fermat". Las bases en que se fundamenta son los siguien-
tes :
1º).-Su punto de partida.- a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a + g = P ; P - C = Z
en el que "a" "g" "C" , son primos entre sí , "a" "g" "P" , también, y
por otra parte " n " es un número primo.
2º).-Planteamiento de 5 ecuaciones. - La conexión entre las 3 pri-
meras es el principal fundamento del estudio. La existencia de una
desigualdad o no validez de alguna de ellas , supondrá la demostra-
ción del "Teorema".
3º).-Para la validez de las 5 ecuaciones , es preciso que , tanto "a"
como "g " ,tengan factores comunes con "Z".
4º).-Imposibilidad de que "a", "g" tengan factores comunes con Z.
Imposibilidad de que se cumpla , a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
En relación con los valores arriba citados, a ,g ,n ,C , se pueden dar
los siguientes casos :
1º).-Que "n" sea número compuesto.
2º).-Que "n" sea número primo.
3º).-Que a , g , C , tengan divisores comunes.
4ª).-Que a , g , C , sean primos entre sí.
Supongamos que existiese una relación a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , en la que
" n "fuese un número compuesto.La igualdad no variaría dividien-
do el exponente " n " ,hasta convertirlo en número primo y al mis-
mo tiempo elevando los valores de a , g , C .
Si " n " fuese una potencia de " 2 " , reduciríamos los exponentes
" n " de "a" y de " g " , a la cuarta potencia y el exponente " n " de
" C " ,le reduciríamos a "dos". Pierre de Fermat demostró la impo-
sibilidad de descomponer un cuadrado en dos cuartas potencias.
De la misma manera , en el caso nª 3 , que a ,g , C tengan divisores
comunes, les dividiríamos por dichos factores , hasta que a , g , C
fuesen primos entre sí.
Es decir,que nuestro estudio parte de la posibilidad de que exista:
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , en la cual los valores a , g , C son primos entre sí,
y el exponente " n " es un número primo.
A la suma de las bases " a " " g " la llamaremos " P ". Naturalmen-
te , el valor de " C " , ha de ser inferior al de " P " . A la diferencia
entre " P " y " C " , la llamaremos " Z " .
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a + g = P ; P ─ C = Z
Como quiera que a , g , C son primos entre sí, igualmente a , g , P
lo tendrán que ser .
En base a lo expuesto, plantearemos unas ecuaciones , cuya vali-
dez es necesaria para demostrar la posibilidad de que :
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
De la misma manera consideramos que la existencia de una de-
sigualdad en cualquiera de las ecuaciones , es suficiente para de-
mostrar la imposibilidad a que hace referencia el "Ultimo Teore-
ma de Fermat" .
Ecuación nº 1
a + g = P ; P - g = a ; lo elevamos a la potencia " n " :
P ⁿ- nP ⁿ-¹ g +( )P ⁿ-² g ² - +..+ -( )P² g ⁿ-² + n Pg ⁿ-¹ =
= a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
Ecuación nº 2
a + g = P ; P -a = g , lo elevamos a la potencia " n " :
P ⁿ ─ n P ⁿ-¹ a +( )P ⁿ-² a ² -+- + ─( ) P ² a ⁿ-² + n P a ⁿ-¹ =
= a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
Ecuación nº 3
C + Z = P ; P ─ Z = C ; lo elevamos a la potencia "n".
Pⁿ ─nP ⁿ-¹ Z +( )P ⁿ-² Z²-+-+─ ( )P² Zⁿ-²+ nP Zⁿ-¹─ Z ⁿ = C ⁿ
Ecuación nº 4
Igualamos las ecuaciones nº 1 y nº 3 ,
─ n P ⁿ-¹ g + ( ) P ⁿ-² g ² + -+..-...─ ( ) P² g ⁿ-² + n P g ⁿ-¹=
= ─P ⁿ-¹ Z +( ) P ⁿ-² Z² ─....+..- ─( )P ² Zⁿ-² + n P Z ⁿ-¹ ─ Zⁿ
Ecuacion nº 5
Igualamos las ecuaciones nº 2 y nº 3 .
─nP ⁿ-¹ a + ( ) P ⁿ-² a ² - +.....-( ) P ² a ⁿ-² + n P a ⁿ-¹ =
─nPⁿ-¹Z +( )P ⁿ-²Z² -+...+..─ ( )P² Z ⁿ-² + n P Z ⁿ-¹ ─ Z ⁿ
La ecuación nº 4 B,podemos representarla como sigue :
nPⁿ-¹ (g-Z) - ( ) Pⁿ-² ( g² - Z² ) + ( ) P ⁿ-³( g³ - Z ³) +..+
- +( ) P² ( g ⁿ-² ─ Z ⁿ-² ) ─n P (g ⁿ-¹ - Z ⁿ-¹) = Z ⁿ
= K ⁿ Lⁿ p ⁿ n ⁿ t ⁿ
Esto nos muestra que "Z ⁿ" es múltiplo de "P", de "n" y tam-
bién de ( g - Z )
De la misma manera la ecuación nº 5 , la representaremos :
Ecuación nº 5 B
n Pⁿ-¹ ( a - Z ) ─ ( )Pⁿ-²( a² - Z² ) + ( )Pⁿ-³( a³ - Z³ ) -+...-..+
+ ( ) P²( a ⁿ-² - Zⁿ-² ) ─n P ( a ⁿ-¹ Z ⁿ- ¹) = Z ⁿ =
= K ⁿ L ⁿ N ⁿ p ⁿ t ⁿ
Igualmente , esto nos indica que "Z ⁿ" es múltiplo de"P" "n"
y también de " ( a - Z ) " .
Es decir que :
Z ⁿ = ( g - Z ) ( a - Z ) n P Y
Z ⁿ= ( a g - Z ( a + g ) + Z ² ) n P Y
Zⁿ = ( a g - Z P + Z ² ) n P Y
Zⁿ = [ a g - Z ( P - Z ) ] n P Y
Zⁿ = ( a . g - Z C ) n P Y
(recordemos que a , g , son primos entre sí con C , y también son
primos entre sí con P )
Vemos con ello que " a " ó "g" o ambas tienen divisores comunes
con Z.
Podíamos pensar que ( a , g - Z C ) = 1 .- Teniendo en cuenta que
a + g = P = Z + C , para que ( a . g - Z C ) = 1 , es preciso que a= g ,
lo cual no es posible , puesto que sabemos que "a" "g" son primos
entre sí.
A la última conclusión podemos llegar por un razonamiento más
simple ,
a + g = P ; a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a ⁿ = C ⁿ - g ⁿ
a ⁿ ha de ser divisible por la diferencia de las bases de C ⁿ - g ⁿ
a ⁿ = ( C - g ) X ; C = P - Z = a + g - Z
a ⁿ = ( a + g - Z ) X ; a ⁿ = ( a - Z ) X
esto exige que "Z" tenga divisores comunes con "a".
Empleando el mismo razonamiento , llegamos a la conclusión de
que "Z" tiene que tener divisores comunes con "g".
Con esto creemos demostrar que para que sea posible ,
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ, es preciso que "Z" tenga divisores comunes tanto
con " a " , como con " g " .
Posibilidades de que "a" ó "g" tengan divisor(es)
común(es)con Z.
A la vista de la ecuación nº 4 B,
n P ⁿ-¹(g - Z) ─ ( ) P ⁿ-²(g² - Z²) +..-......+( )P ² (gⁿ-²- Zⁿ-²) ─
─n P ( gⁿ-¹ - Zⁿ-¹ ) = Zⁿ = K ⁿ L ⁿ n ⁿ p ⁿ t ⁿ
Supongamos que " g " " Z " tengan como divisor común " K " ,
g = K . M ; Z = K . T ; sustituímos estos valores :
nPⁿ-¹ K (M-T) ─ ( )Pⁿ-² K² (M²-T²) +( )Pⁿ-³ K³ (M³-T³)-...+
+ ( ) P² Kⁿ-² ( Mⁿ-² - T ⁿ-²) ─ n P Kⁿ-¹( Mⁿ-¹ - Tⁿ-¹) = Kⁿ T ⁿ
Ahora pueden darse dos casos :
1º).-Que ( M - T ) no sea divisible por " K " .
2º).-Que ( M - T ) sea divisible por " K " .
En el primer caso,todos los sumandos de la ecuación a excepción
del primero son divisibles por "K ²",lo que indica la no validez de
la ecuación.
En el 2º caso ( M - T ) es divisible por " K " , como el resto de los
sumandos. Esta es la imposibilidad que a continuación en nuestro
trabajo , trataremos de demostrar.
Conviene tener en cuenta, que al ser " n " primo , todos los coefi-
cientes de los sumandos, ( ), ( ) ,.... son divisibles por " n " .
Unica posibilidad de que a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
Esta se limita a :
1º).-Que " Z " tenga factores comunes con " a " y con " g ".
2ª).-Que las relaciones sean :
g─ Z = K ; g = K . M ; Z = K L n p t , o bien
g ─ Z = nˣⁿ-¹ ; g = n ˣ . M ; Z = n ˣ L p t
g - Z = n ˣⁿ-¹ . K ⁿ ; g = n ˣ . K . M ; ; Z = n ˣ K L p t
y por otra parte , la relación entre "a" y " Z "
a ─ Z = L ⁿ ; a = L . R
Relación entre " Z " y "a " " g "
1º).-Los factores comunes , si son potencias, serán del mismo grado.
2º).-Consecuencia de lo anterior, "Z" no puede contener todos los
factores de "a" , ni los de " g".
3º).-El valor de la diferencia,
( g - Z ) no podrá ser congruente cero , módulo F.
( g - Z ) solo será congruente cero , con módulo " K " ó (y) n.
Divisores de las ecuaciones
A la vista de las ecuaciones n º 1 , 2 y 3 ,
P ─ C ≡ 0 ( módulos n , P , g , a , Z )
Pero mientras que en las dos primeras ecuaciones el origen de
C ⁿ es , a ⁿ + g ⁿ , (imposibilidad que tratamos de demostrar ),
en la tercera, procede de la diferencia entre P ─ Z .
El fundamento de nuestro estudio no es otro que mostrar la in-
compatibilidad de valores , uniendo las 2 primeras ecuaciones
con la tercera.
Factores de " Z "
El origen del valor de " Z " , es ,
K y ó n = factor(es) comun(es) con " g ".
L = factor común con "a"
"p " " n " , contiene siempre estos factores. (ver ecuación 4).
t = resto de valores . ( valor desconocido )
" Z " siempre es par. Todos estos factores, a excepción de "n"
pueden ser primos o compuestos.
Imposibilidad de que P = a + g , sea múltiplo de " n "
Observando cualquiera de las 5 ecuaciones base,por ejemplo la
nº 1 , llegamos a la conclusión de que ,
C ⁿ ≡ 0 ( módulo P ) , así como que, P = p ⁿ
A la vista de las ecuaciones nº 1 al 3 .
C ⁿ ≡ 0 ( módulo p ⁿ) ,y no divisible por " p " elevado a " (n+1)".
C = p.e ; e = valor desconocido ; C ⁿ = p ⁿ . e ⁿ
en el caso de que "p" fuese múltiplo de "n" , si dividimos la ecua-
ción por "P" ,todos los sumandos de la ecuación serían divisibles
por "n" , a excepción de "e ⁿ". Con esto sabemos que "P" no con-
tiene el valor " n " .
Si recordamos que C = P - Z , y que " Z " es múltiplo de "n" , "C"
tampoco es divisible por "n".
Relación entre "P" "C", con "n"
Dividiendo la 3ª ecuación por "P", queda ,
P ⁿ-¹ ─n P ⁿ-² Z + ( ) P ⁿ-³ Z² + .-.. +n Z ⁿ-¹ ─ Z ⁿ / P = e ⁿ
podemos llegar a las siguientes conclusiones ,para que no se anu-
le la ecuación :
P ⁿ-¹ ≡ 1 ( módulo n ) ; luego , e ⁿ ≡ 1 ( módulo n )
e ⁿ = e ⁿ-¹ . e = ( 8 n j + 1) e ; e ≡ 1 ( módulo n )
e ⁿ ≡ 1 ( módulo n ² ) ; asímismo P ⁿ-¹≡ 1 ( módulo n ² )
P = p ⁿ ≡ 1 ( módulo n ² ) ; p ≡ 1 ( módulo n )
Como quiera que tanto "P" , como "C" son función del valor de
" Z ", los valores citados son válidos para Z ≡ 0 ( módulo n ),es
decir , pueden ser no válidos para Z ≡ 0 ( mód.n ˣ ) , para " x"
mayor que uno.
Más adelante veremos que es condición necesaria para que "Z"
sea múltiplo de " n ˣ ",que este "n ˣ " sea factor común con "g".
Imposibilidad de L ⁿ+ K ⁿ + 2 Z = P = p ⁿ
En base a que :
P- Z = C ; si P ≡ 1 ( módulo n ² ) ; y además Z ≡ 0 ( módulo n )
obliga a que . C ⁿ ≡ 1 ( módulo n² ) = n ² J + 1 ;
J = valor desconocido
Como sabemos , el otro valor de "C" , es función de los valores de
"a" " g ", será :
g = K . M ; g = K ⁿ + K L n p t ; M = K ⁿ-¹ + L n p t
M = n ˣ s + 1 ;
a = L . R ; a = L ⁿ + K L n p t ; R = L ⁿ-¹+ K n p t
R = n ˣ f + 1
K . M = g = K (n ˣ s + 1 ) = K n ˣ s + K = g
L . R = a = L ( n ˣ f + 1 ) = L n ˣ f + L = a
g ⁿ= ( K n ˣ s + K ) ⁿ = n ˣ n K q + K ⁿ........ ( 1 )
a ⁿ= ( L n ˣ f + L ) ⁿ = n ˣ n L w + L ⁿ........ ( 2 )
según sabemos, ( K ⁿ + L ⁿ) ≡ 1 ( mód, n ), pero no es múlti-
plo de " n ² " , más la unidad.
K ⁿ + L ⁿ +2 K L n p t = P = p ⁿ
sumando los valores arriba reseñados (1) (2) de a ⁿ + g ⁿ es
≡ 1 ( módulo n )
pero no ≡ 1 ( módulo n ²). Este valor de " C ⁿ "no coincide con
el calculado en función de "P" "Z", que era de C ⁿ = n ² J + 1
Con ello queda demostrada la imposibilidad del enunciado.
Imposibilidad de K ⁿ + L ⁿ + 2 K L n ˣp T = P = p ⁿ
Como vemos , este caso se diferencia del anterior exclusiva-
mente en que " Z " es divisible por " n ˣ " ,en vez de solamente
por " n " .
Teniendo en cuenta que :
p ⁿ = P ≡ 1 ( módulo n ʸ ) . Si 2 Z ≡ 0 ( módulo n ˣ ) , en la que
tanto " x " como " y " son mayores que la unidad, para que sea
válida la ecuación ,tendrá que darse el caso de que,
( K ⁿ + L ⁿ ) ≡ 1 ( módulo n ˣºʸ )
A continuación vamos a ver si es posible este caso :
P ≡ 1 ( módulo n ʸ ) ;..................( K + L ) ≡ 1 ( módulo n ʰ )
K = n ʰ . f - ( L - 1 )
K ⁿ = n ʰ⁺¹ . f H + n f L - L ⁿ + 1
K ⁿ + Lⁿ = n ʰ⁺¹ f H + n f L + 1 , que no es múltiplo de n ² , más
la unidad.
Conviene tener en cuenta , que ( L - 1) nunca podrá ser múlti-
plo de "n" , porque si así fuera, sería necesario que K ≡ 0 ( mó-
dulo n )
Lo que supondría que el factor común entre "g" "Z" sería "n".
Como sabemos , en este caso el factor común entre "g" "Z" es
K.
Creemos queda demostrada la imposibilidad a que hace refe-
rencia,
L ⁿ + K ⁿ + 2 K L n ˣ p t = P
Imposibilidad de n ˣⁿ-¹ + L ⁿ + 2 n ˣ L p t = P = p ⁿ
A continuación vamos a demostrar la imposibilidad de que "g"
sea múltiplo de "n", o lo que es lo mismo , que el factor común
de"g" y de "Z" sea " n ". Consideramos que el factor común de
" a " y de " Z ", es " L " .
g = n ˣ. M ; g - Z = n ˣⁿ-¹ ; Z = n ˣ L p t ; g = n ˣⁿ-¹ + n ˣ L p t
a = L . R ; a - Z = L ⁿ ; a = L ⁿ + n ˣ L p t
estos valores de "a" "g", determinan la ecuación del enunciado.
En la página 9 ,al tratar de la relación entre " P " " C " con "n",
hicimos constar que "p" , "P" , P ⁿ, son ≡ 1 ( mód.n ). Ello obliga
a que también L ⁿ ≡ 1 ( módulo n ).
Por otra parte, podemos matizar, según la ecuación nº 4 B ,los
valores de Z :
Z ⁿ = L ⁿ p ⁿ n ˣⁿ t ⁿ
y dividiendo dicha ecuación por " n ˣⁿ " , al ser P ⁿ-¹ ≡ 1 ( mod.
n ʸ ) , nos indica que L ⁿ p ⁿ t ⁿ ≡ 1 ( módulo n ʸ ) . Según esto ,
los nuevos valores son :
Z ⁿ = n ˣⁿ⁺ˣ + n ˣⁿ ; Z = n ˣ L p t = F n ²ˣ-¹ + n ˣ
Asímismo en dicha página 9 ,y con referencia a la ecuación nº3
indica ,
P - Z = C ; C = p .e ; C ⁿ = p ⁿ . e ⁿ ;
Si P ≡ 1 ( mód. n ˣ )..........p ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹) ; no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
P ⁿ-¹≡ 1 ( mod. n ˣ )........e ⁿ ≡ 1 ( mod. n ˣ ) ; no ≡ 1 ( mod. n ˣ⁺¹ )
Si e ⁿ ≡ 1 ( mod. n ˣ )......e ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹ ); no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
Si p ≡ 1 ( mód.n ˣ-¹ ).....e ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹ ); no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
como quiera que , C = p . e , si p =(n ˣ-² d + n ˣ-¹ h + 1 ), y
por otra parte , si e = nˣ-² j + n ˣ-¹ q + 1 , obliga a que ,
( h + q ) = n .Esto último supone que si,
p = n²ˣ-² Q + n ˣ⁺¹ j + n ˣ d + n ˣ-¹ h + 1 ; "d" menor que n ;
"h" menor que " n"
P ⁿ-¹ = n ²ˣ-¹ H + nˣ⁺³ j + n ˣ⁺² u + nˣ⁺¹ (h-d) - n ˣ h + 1 e =
=n ²ˣ-² w + n ˣ⁺¹ r + n ˣ i + n ˣ-¹ q + 1 ; "i" menor que " n " .
e ⁿ= n²ˣ-¹ y + n ˣ⁺² S + n ˣ⁺¹ i + n ˣ q + 1
P ⁿ-¹ - e ⁿ = n ²ˣ-¹ B + n ˣ⁺² D + n ˣ⁺¹ ( h - d - i - 1)
Dividiendo la ecuación nº 3 por " p ⁿ " ,
Pⁿ-¹ - P ⁿ-² n Z +............+...... = e ⁿ
como P ⁿ-² ≡ 1 ( mód. n ʸ )
─ P ⁿ-² n Z = ─ ( n ²ˣ⁺ʸ S + nˣ⁺ʸ⁺¹ J + n ˣ⁺ʸF + n ˣ⁺¹ )
Resumiendo,
P ⁿ-¹ ─ e ⁿ ─Pⁿ-² n Z = n ˣ⁺ʸ W + n ˣ⁺² D + n ˣ⁺¹ (h-d-i-1-1 )
ya hemos indicado que tanto "h" , como "d" , como "i" ,son va-
lores menores que "n".
Suponiendo que ( h-d-i-1-1 )= 0
( P ⁿ-¹ - e ⁿ- P ⁿ-² n Z ) es solo ≡ 0 ( módulo n ˣ⁺² )
el siguiente sumando de la ecuación nº3 es ,(ya dividido por P) :
(n-1) /2 ( n ʸ Q + 1 ) (n ²ˣ⁺²ʸ-²F ² + 2 n²ˣ⁺ʸ-¹ + n²ˣ ) n =
=[ n (n-1)/2 ] P ⁿ-³ Z ² , es decir , que el primer sumando es
congruente cero , para módulo n ²ˣ⁺¹ 1
Con ello queda demostrada la imposibilidad de la ecuación del
enunciado.
-------------------------------------------
Otra demostración que ratifica la imposibilidad de la ecuación.
es decir de , nˣⁿ-¹ + Lⁿ + 2 n²ˣ-¹ F + 2 n ˣ = pⁿ = P , sería :
Damos a " L ⁿ " el valor ,
L ⁿ = n²ˣ-¹J + nˣ⁺² j + nˣ⁺¹d + n ˣ ( h-2) + 1
ya dijimos que Z = n ˣ L p t =n²ˣ-¹ F + nˣ.Teniendo en cuenta es-
tos valores,
p ⁿ= nˣⁿ-¹ + n²ˣ-¹ J + nˣ⁺² j + nˣ⁺¹d + nˣ ( h-2) + 1 + 2n²ˣ-¹F +
+ 2 nˣ
según esto, los valores de "p", y de "L" ,serían :
p = n²ˣ-² Q + nˣ⁺¹ j + nˣ d + nˣ-¹ h + 1
L = n²ˣ-² H + nˣ⁺¹ j + n ˣd + n ˣ-¹(h-2) + 1 , y por tanto
( p - L ) = n²ˣ-²( Q - H ) + 2 n ˣ-¹ ; Q - H = W
elevado a "n" :
p ⁿ - Lⁿ - n p L ( p -L ) S = [ nˣ -¹ ( n ˣ-¹ w + 2 ) ] ⁿ
p ⁿ = nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f + n r + 2 ) + L ⁿ + n p L (p- L) S
a la vista de esta ecuación y la del enunciado ,
nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f + n r + 2 ) - n ˣⁿ-¹ ≡ 0 ( módulo p )
hemos de hacer constar que " f " tiene un valor elevado,toda vez
que ,
nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f +n r + 2 ) es mayor que nˣⁿ-ⁿ ;
nˣⁿ-ⁿ w ⁿ , es mayor que n ˣⁿ-¹
pues bien ,
nˣⁿ-ⁿ⁺ˣ f + nˣⁿ-ⁿ⁺¹ r + nˣⁿ-ⁿ . 2 - n ˣⁿ-¹ es diferente a p . B
teniendo en cuenta que ,
p = n²ˣ-² Q + n ˣ⁺¹ j + n ˣ d + n ˣ-¹ h + 1
y aunque demos a "B" los valores ,
B = nˣⁿ-ⁿ i , para " i " menor que "n" , o bien ,
B = n ˣⁿ-ⁿ . n . i + n ˣⁿ-ⁿ. b , para "b" menor que "n"
queda demostrada la imposibilidad a la que este apartado hace
referencia.
Imposibilidad de nˣⁿ-¹ K ⁿ + L ⁿ + 2 n ˣK L p t = p ⁿ = P
En este caso los valores serían :
g = n ˣ K M ; Z = n ˣ K L p t ; g - Z = n ˣⁿ-¹ Kⁿ
a = L . R ; a - Z = L ⁿ ; a = L ⁿ + nˣ K L p t
A la vista de la ecuación 4 B , y siguiendo la misma operativa del
apartado anterior, conocemos que ,
Z = n ²ˣ-¹ F + n ˣ
Otro tanto podemos decir de los valores "p", "L" , con lo que,
pⁿ = nˣⁿ-¹ K ⁿ + n²ˣ-¹ J + n ˣ⁺² j + n ˣ⁺¹ d + n ˣ ( h-2) +
+ 2 n²ˣ-¹ F + 2 n ˣ = P
en función de los valores de "p" y de "L" ,
( p - L ) ⁿ = ( n ²ˣ-² W + 2 n ˣ-¹ ) ⁿ
de este desarrollo restaríamos nˣⁿ-¹ K ⁿ , en vez de n ˣⁿ-¹,
nˣⁿ-ⁿ⁺ˣ f + nˣⁿ-ⁿ⁺¹ r + n ˣⁿ-ⁿ . 2 - nˣⁿ-¹ K ⁿ , es diferente
de p . B
por los motivos indicados en el anterior apartado.
Con todo ello hemos demostrado la imposibilidad de,
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , cuando los factores comunes de "g" "Z"
son n ˣ K , y por otra parte , el factor común entre "a" "Z" es
"L" .-
rema de Fermat". Las bases en que se fundamenta son los siguien-
tes :
1º).-Su punto de partida.- a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a + g = P ; P - C = Z
en el que "a" "g" "C" , son primos entre sí , "a" "g" "P" , también, y
por otra parte " n " es un número primo.
2º).-Planteamiento de 5 ecuaciones. - La conexión entre las 3 pri-
meras es el principal fundamento del estudio. La existencia de una
desigualdad o no validez de alguna de ellas , supondrá la demostra-
ción del "Teorema".
3º).-Para la validez de las 5 ecuaciones , es preciso que , tanto "a"
como "g " ,tengan factores comunes con "Z".
4º).-Imposibilidad de que "a", "g" tengan factores comunes con Z.
Imposibilidad de que se cumpla , a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
En relación con los valores arriba citados, a ,g ,n ,C , se pueden dar
los siguientes casos :
1º).-Que "n" sea número compuesto.
2º).-Que "n" sea número primo.
3º).-Que a , g , C , tengan divisores comunes.
4ª).-Que a , g , C , sean primos entre sí.
Supongamos que existiese una relación a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , en la que
" n "fuese un número compuesto.La igualdad no variaría dividien-
do el exponente " n " ,hasta convertirlo en número primo y al mis-
mo tiempo elevando los valores de a , g , C .
Si " n " fuese una potencia de " 2 " , reduciríamos los exponentes
" n " de "a" y de " g " , a la cuarta potencia y el exponente " n " de
" C " ,le reduciríamos a "dos". Pierre de Fermat demostró la impo-
sibilidad de descomponer un cuadrado en dos cuartas potencias.
De la misma manera , en el caso nª 3 , que a ,g , C tengan divisores
comunes, les dividiríamos por dichos factores , hasta que a , g , C
fuesen primos entre sí.
Es decir,que nuestro estudio parte de la posibilidad de que exista:
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , en la cual los valores a , g , C son primos entre sí,
y el exponente " n " es un número primo.
A la suma de las bases " a " " g " la llamaremos " P ". Naturalmen-
te , el valor de " C " , ha de ser inferior al de " P " . A la diferencia
entre " P " y " C " , la llamaremos " Z " .
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a + g = P ; P ─ C = Z
Como quiera que a , g , C son primos entre sí, igualmente a , g , P
lo tendrán que ser .
En base a lo expuesto, plantearemos unas ecuaciones , cuya vali-
dez es necesaria para demostrar la posibilidad de que :
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
De la misma manera consideramos que la existencia de una de-
sigualdad en cualquiera de las ecuaciones , es suficiente para de-
mostrar la imposibilidad a que hace referencia el "Ultimo Teore-
ma de Fermat" .
Ecuación nº 1
a + g = P ; P - g = a ; lo elevamos a la potencia " n " :
P ⁿ- nP ⁿ-¹ g +( )P ⁿ-² g ² - +..+ -( )P² g ⁿ-² + n Pg ⁿ-¹ =
= a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
Ecuación nº 2
a + g = P ; P -a = g , lo elevamos a la potencia " n " :
P ⁿ ─ n P ⁿ-¹ a +( )P ⁿ-² a ² -+- + ─( ) P ² a ⁿ-² + n P a ⁿ-¹ =
= a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
Ecuación nº 3
C + Z = P ; P ─ Z = C ; lo elevamos a la potencia "n".
Pⁿ ─nP ⁿ-¹ Z +( )P ⁿ-² Z²-+-+─ ( )P² Zⁿ-²+ nP Zⁿ-¹─ Z ⁿ = C ⁿ
Ecuación nº 4
Igualamos las ecuaciones nº 1 y nº 3 ,
─ n P ⁿ-¹ g + ( ) P ⁿ-² g ² + -+..-...─ ( ) P² g ⁿ-² + n P g ⁿ-¹=
= ─P ⁿ-¹ Z +( ) P ⁿ-² Z² ─....+..- ─( )P ² Zⁿ-² + n P Z ⁿ-¹ ─ Zⁿ
Ecuacion nº 5
Igualamos las ecuaciones nº 2 y nº 3 .
─nP ⁿ-¹ a + ( ) P ⁿ-² a ² - +.....-( ) P ² a ⁿ-² + n P a ⁿ-¹ =
─nPⁿ-¹Z +( )P ⁿ-²Z² -+...+..─ ( )P² Z ⁿ-² + n P Z ⁿ-¹ ─ Z ⁿ
La ecuación nº 4 B,podemos representarla como sigue :
nPⁿ-¹ (g-Z) - ( ) Pⁿ-² ( g² - Z² ) + ( ) P ⁿ-³( g³ - Z ³) +..+
- +( ) P² ( g ⁿ-² ─ Z ⁿ-² ) ─n P (g ⁿ-¹ - Z ⁿ-¹) = Z ⁿ
= K ⁿ Lⁿ p ⁿ n ⁿ t ⁿ
Esto nos muestra que "Z ⁿ" es múltiplo de "P", de "n" y tam-
bién de ( g - Z )
De la misma manera la ecuación nº 5 , la representaremos :
Ecuación nº 5 B
n Pⁿ-¹ ( a - Z ) ─ ( )Pⁿ-²( a² - Z² ) + ( )Pⁿ-³( a³ - Z³ ) -+...-..+
+ ( ) P²( a ⁿ-² - Zⁿ-² ) ─n P ( a ⁿ-¹ Z ⁿ- ¹) = Z ⁿ =
= K ⁿ L ⁿ N ⁿ p ⁿ t ⁿ
Igualmente , esto nos indica que "Z ⁿ" es múltiplo de"P" "n"
y también de " ( a - Z ) " .
Es decir que :
Z ⁿ = ( g - Z ) ( a - Z ) n P Y
Z ⁿ= ( a g - Z ( a + g ) + Z ² ) n P Y
Zⁿ = ( a g - Z P + Z ² ) n P Y
Zⁿ = [ a g - Z ( P - Z ) ] n P Y
Zⁿ = ( a . g - Z C ) n P Y
(recordemos que a , g , son primos entre sí con C , y también son
primos entre sí con P )
Vemos con ello que " a " ó "g" o ambas tienen divisores comunes
con Z.
Podíamos pensar que ( a , g - Z C ) = 1 .- Teniendo en cuenta que
a + g = P = Z + C , para que ( a . g - Z C ) = 1 , es preciso que a= g ,
lo cual no es posible , puesto que sabemos que "a" "g" son primos
entre sí.
A la última conclusión podemos llegar por un razonamiento más
simple ,
a + g = P ; a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ ; a ⁿ = C ⁿ - g ⁿ
a ⁿ ha de ser divisible por la diferencia de las bases de C ⁿ - g ⁿ
a ⁿ = ( C - g ) X ; C = P - Z = a + g - Z
a ⁿ = ( a + g - Z ) X ; a ⁿ = ( a - Z ) X
esto exige que "Z" tenga divisores comunes con "a".
Empleando el mismo razonamiento , llegamos a la conclusión de
que "Z" tiene que tener divisores comunes con "g".
Con esto creemos demostrar que para que sea posible ,
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ, es preciso que "Z" tenga divisores comunes tanto
con " a " , como con " g " .
Posibilidades de que "a" ó "g" tengan divisor(es)
común(es)con Z.
A la vista de la ecuación nº 4 B,
n P ⁿ-¹(g - Z) ─ ( ) P ⁿ-²(g² - Z²) +..-......+( )P ² (gⁿ-²- Zⁿ-²) ─
─n P ( gⁿ-¹ - Zⁿ-¹ ) = Zⁿ = K ⁿ L ⁿ n ⁿ p ⁿ t ⁿ
Supongamos que " g " " Z " tengan como divisor común " K " ,
g = K . M ; Z = K . T ; sustituímos estos valores :
nPⁿ-¹ K (M-T) ─ ( )Pⁿ-² K² (M²-T²) +( )Pⁿ-³ K³ (M³-T³)-...+
+ ( ) P² Kⁿ-² ( Mⁿ-² - T ⁿ-²) ─ n P Kⁿ-¹( Mⁿ-¹ - Tⁿ-¹) = Kⁿ T ⁿ
Ahora pueden darse dos casos :
1º).-Que ( M - T ) no sea divisible por " K " .
2º).-Que ( M - T ) sea divisible por " K " .
En el primer caso,todos los sumandos de la ecuación a excepción
del primero son divisibles por "K ²",lo que indica la no validez de
la ecuación.
En el 2º caso ( M - T ) es divisible por " K " , como el resto de los
sumandos. Esta es la imposibilidad que a continuación en nuestro
trabajo , trataremos de demostrar.
Conviene tener en cuenta, que al ser " n " primo , todos los coefi-
cientes de los sumandos, ( ), ( ) ,.... son divisibles por " n " .
Unica posibilidad de que a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ
Esta se limita a :
1º).-Que " Z " tenga factores comunes con " a " y con " g ".
2ª).-Que las relaciones sean :
g─ Z = K ; g = K . M ; Z = K L n p t , o bien
g ─ Z = nˣⁿ-¹ ; g = n ˣ . M ; Z = n ˣ L p t
g - Z = n ˣⁿ-¹ . K ⁿ ; g = n ˣ . K . M ; ; Z = n ˣ K L p t
y por otra parte , la relación entre "a" y " Z "
a ─ Z = L ⁿ ; a = L . R
Relación entre " Z " y "a " " g "
1º).-Los factores comunes , si son potencias, serán del mismo grado.
2º).-Consecuencia de lo anterior, "Z" no puede contener todos los
factores de "a" , ni los de " g".
3º).-El valor de la diferencia,
( g - Z ) no podrá ser congruente cero , módulo F.
( g - Z ) solo será congruente cero , con módulo " K " ó (y) n.
Divisores de las ecuaciones
A la vista de las ecuaciones n º 1 , 2 y 3 ,
P ─ C ≡ 0 ( módulos n , P , g , a , Z )
Pero mientras que en las dos primeras ecuaciones el origen de
C ⁿ es , a ⁿ + g ⁿ , (imposibilidad que tratamos de demostrar ),
en la tercera, procede de la diferencia entre P ─ Z .
El fundamento de nuestro estudio no es otro que mostrar la in-
compatibilidad de valores , uniendo las 2 primeras ecuaciones
con la tercera.
Factores de " Z "
El origen del valor de " Z " , es ,
K y ó n = factor(es) comun(es) con " g ".
L = factor común con "a"
"p " " n " , contiene siempre estos factores. (ver ecuación 4).
t = resto de valores . ( valor desconocido )
" Z " siempre es par. Todos estos factores, a excepción de "n"
pueden ser primos o compuestos.
Imposibilidad de que P = a + g , sea múltiplo de " n "
Observando cualquiera de las 5 ecuaciones base,por ejemplo la
nº 1 , llegamos a la conclusión de que ,
C ⁿ ≡ 0 ( módulo P ) , así como que, P = p ⁿ
A la vista de las ecuaciones nº 1 al 3 .
C ⁿ ≡ 0 ( módulo p ⁿ) ,y no divisible por " p " elevado a " (n+1)".
C = p.e ; e = valor desconocido ; C ⁿ = p ⁿ . e ⁿ
en el caso de que "p" fuese múltiplo de "n" , si dividimos la ecua-
ción por "P" ,todos los sumandos de la ecuación serían divisibles
por "n" , a excepción de "e ⁿ". Con esto sabemos que "P" no con-
tiene el valor " n " .
Si recordamos que C = P - Z , y que " Z " es múltiplo de "n" , "C"
tampoco es divisible por "n".
Relación entre "P" "C", con "n"
Dividiendo la 3ª ecuación por "P", queda ,
P ⁿ-¹ ─n P ⁿ-² Z + ( ) P ⁿ-³ Z² + .-.. +n Z ⁿ-¹ ─ Z ⁿ / P = e ⁿ
podemos llegar a las siguientes conclusiones ,para que no se anu-
le la ecuación :
P ⁿ-¹ ≡ 1 ( módulo n ) ; luego , e ⁿ ≡ 1 ( módulo n )
e ⁿ = e ⁿ-¹ . e = ( 8 n j + 1) e ; e ≡ 1 ( módulo n )
e ⁿ ≡ 1 ( módulo n ² ) ; asímismo P ⁿ-¹≡ 1 ( módulo n ² )
P = p ⁿ ≡ 1 ( módulo n ² ) ; p ≡ 1 ( módulo n )
Como quiera que tanto "P" , como "C" son función del valor de
" Z ", los valores citados son válidos para Z ≡ 0 ( módulo n ),es
decir , pueden ser no válidos para Z ≡ 0 ( mód.n ˣ ) , para " x"
mayor que uno.
Más adelante veremos que es condición necesaria para que "Z"
sea múltiplo de " n ˣ ",que este "n ˣ " sea factor común con "g".
Imposibilidad de L ⁿ+ K ⁿ + 2 Z = P = p ⁿ
En base a que :
P- Z = C ; si P ≡ 1 ( módulo n ² ) ; y además Z ≡ 0 ( módulo n )
obliga a que . C ⁿ ≡ 1 ( módulo n² ) = n ² J + 1 ;
J = valor desconocido
Como sabemos , el otro valor de "C" , es función de los valores de
"a" " g ", será :
g = K . M ; g = K ⁿ + K L n p t ; M = K ⁿ-¹ + L n p t
M = n ˣ s + 1 ;
a = L . R ; a = L ⁿ + K L n p t ; R = L ⁿ-¹+ K n p t
R = n ˣ f + 1
K . M = g = K (n ˣ s + 1 ) = K n ˣ s + K = g
L . R = a = L ( n ˣ f + 1 ) = L n ˣ f + L = a
g ⁿ= ( K n ˣ s + K ) ⁿ = n ˣ n K q + K ⁿ........ ( 1 )
a ⁿ= ( L n ˣ f + L ) ⁿ = n ˣ n L w + L ⁿ........ ( 2 )
según sabemos, ( K ⁿ + L ⁿ) ≡ 1 ( mód, n ), pero no es múlti-
plo de " n ² " , más la unidad.
K ⁿ + L ⁿ +2 K L n p t = P = p ⁿ
sumando los valores arriba reseñados (1) (2) de a ⁿ + g ⁿ es
≡ 1 ( módulo n )
pero no ≡ 1 ( módulo n ²). Este valor de " C ⁿ "no coincide con
el calculado en función de "P" "Z", que era de C ⁿ = n ² J + 1
Con ello queda demostrada la imposibilidad del enunciado.
Imposibilidad de K ⁿ + L ⁿ + 2 K L n ˣp T = P = p ⁿ
Como vemos , este caso se diferencia del anterior exclusiva-
mente en que " Z " es divisible por " n ˣ " ,en vez de solamente
por " n " .
Teniendo en cuenta que :
p ⁿ = P ≡ 1 ( módulo n ʸ ) . Si 2 Z ≡ 0 ( módulo n ˣ ) , en la que
tanto " x " como " y " son mayores que la unidad, para que sea
válida la ecuación ,tendrá que darse el caso de que,
( K ⁿ + L ⁿ ) ≡ 1 ( módulo n ˣºʸ )
A continuación vamos a ver si es posible este caso :
P ≡ 1 ( módulo n ʸ ) ;..................( K + L ) ≡ 1 ( módulo n ʰ )
K = n ʰ . f - ( L - 1 )
K ⁿ = n ʰ⁺¹ . f H + n f L - L ⁿ + 1
K ⁿ + Lⁿ = n ʰ⁺¹ f H + n f L + 1 , que no es múltiplo de n ² , más
la unidad.
Conviene tener en cuenta , que ( L - 1) nunca podrá ser múlti-
plo de "n" , porque si así fuera, sería necesario que K ≡ 0 ( mó-
dulo n )
Lo que supondría que el factor común entre "g" "Z" sería "n".
Como sabemos , en este caso el factor común entre "g" "Z" es
K.
Creemos queda demostrada la imposibilidad a que hace refe-
rencia,
L ⁿ + K ⁿ + 2 K L n ˣ p t = P
Imposibilidad de n ˣⁿ-¹ + L ⁿ + 2 n ˣ L p t = P = p ⁿ
A continuación vamos a demostrar la imposibilidad de que "g"
sea múltiplo de "n", o lo que es lo mismo , que el factor común
de"g" y de "Z" sea " n ". Consideramos que el factor común de
" a " y de " Z ", es " L " .
g = n ˣ. M ; g - Z = n ˣⁿ-¹ ; Z = n ˣ L p t ; g = n ˣⁿ-¹ + n ˣ L p t
a = L . R ; a - Z = L ⁿ ; a = L ⁿ + n ˣ L p t
estos valores de "a" "g", determinan la ecuación del enunciado.
En la página 9 ,al tratar de la relación entre " P " " C " con "n",
hicimos constar que "p" , "P" , P ⁿ, son ≡ 1 ( mód.n ). Ello obliga
a que también L ⁿ ≡ 1 ( módulo n ).
Por otra parte, podemos matizar, según la ecuación nº 4 B ,los
valores de Z :
Z ⁿ = L ⁿ p ⁿ n ˣⁿ t ⁿ
y dividiendo dicha ecuación por " n ˣⁿ " , al ser P ⁿ-¹ ≡ 1 ( mod.
n ʸ ) , nos indica que L ⁿ p ⁿ t ⁿ ≡ 1 ( módulo n ʸ ) . Según esto ,
los nuevos valores son :
Z ⁿ = n ˣⁿ⁺ˣ + n ˣⁿ ; Z = n ˣ L p t = F n ²ˣ-¹ + n ˣ
Asímismo en dicha página 9 ,y con referencia a la ecuación nº3
indica ,
P - Z = C ; C = p .e ; C ⁿ = p ⁿ . e ⁿ ;
Si P ≡ 1 ( mód. n ˣ )..........p ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹) ; no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
P ⁿ-¹≡ 1 ( mod. n ˣ )........e ⁿ ≡ 1 ( mod. n ˣ ) ; no ≡ 1 ( mod. n ˣ⁺¹ )
Si e ⁿ ≡ 1 ( mod. n ˣ )......e ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹ ); no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
Si p ≡ 1 ( mód.n ˣ-¹ ).....e ≡ 1 ( mod. n ˣ-¹ ); no ≡ 1 ( mod. n ˣ )
como quiera que , C = p . e , si p =(n ˣ-² d + n ˣ-¹ h + 1 ), y
por otra parte , si e = nˣ-² j + n ˣ-¹ q + 1 , obliga a que ,
( h + q ) = n .Esto último supone que si,
p = n²ˣ-² Q + n ˣ⁺¹ j + n ˣ d + n ˣ-¹ h + 1 ; "d" menor que n ;
"h" menor que " n"
P ⁿ-¹ = n ²ˣ-¹ H + nˣ⁺³ j + n ˣ⁺² u + nˣ⁺¹ (h-d) - n ˣ h + 1 e =
=n ²ˣ-² w + n ˣ⁺¹ r + n ˣ i + n ˣ-¹ q + 1 ; "i" menor que " n " .
e ⁿ= n²ˣ-¹ y + n ˣ⁺² S + n ˣ⁺¹ i + n ˣ q + 1
P ⁿ-¹ - e ⁿ = n ²ˣ-¹ B + n ˣ⁺² D + n ˣ⁺¹ ( h - d - i - 1)
Dividiendo la ecuación nº 3 por " p ⁿ " ,
Pⁿ-¹ - P ⁿ-² n Z +............+...... = e ⁿ
como P ⁿ-² ≡ 1 ( mód. n ʸ )
─ P ⁿ-² n Z = ─ ( n ²ˣ⁺ʸ S + nˣ⁺ʸ⁺¹ J + n ˣ⁺ʸF + n ˣ⁺¹ )
Resumiendo,
P ⁿ-¹ ─ e ⁿ ─Pⁿ-² n Z = n ˣ⁺ʸ W + n ˣ⁺² D + n ˣ⁺¹ (h-d-i-1-1 )
ya hemos indicado que tanto "h" , como "d" , como "i" ,son va-
lores menores que "n".
Suponiendo que ( h-d-i-1-1 )= 0
( P ⁿ-¹ - e ⁿ- P ⁿ-² n Z ) es solo ≡ 0 ( módulo n ˣ⁺² )
el siguiente sumando de la ecuación nº3 es ,(ya dividido por P) :
(n-1) /2 ( n ʸ Q + 1 ) (n ²ˣ⁺²ʸ-²F ² + 2 n²ˣ⁺ʸ-¹ + n²ˣ ) n =
=[ n (n-1)/2 ] P ⁿ-³ Z ² , es decir , que el primer sumando es
congruente cero , para módulo n ²ˣ⁺¹ 1
Con ello queda demostrada la imposibilidad de la ecuación del
enunciado.
-------------------------------------------
Otra demostración que ratifica la imposibilidad de la ecuación.
es decir de , nˣⁿ-¹ + Lⁿ + 2 n²ˣ-¹ F + 2 n ˣ = pⁿ = P , sería :
Damos a " L ⁿ " el valor ,
L ⁿ = n²ˣ-¹J + nˣ⁺² j + nˣ⁺¹d + n ˣ ( h-2) + 1
ya dijimos que Z = n ˣ L p t =n²ˣ-¹ F + nˣ.Teniendo en cuenta es-
tos valores,
p ⁿ= nˣⁿ-¹ + n²ˣ-¹ J + nˣ⁺² j + nˣ⁺¹d + nˣ ( h-2) + 1 + 2n²ˣ-¹F +
+ 2 nˣ
según esto, los valores de "p", y de "L" ,serían :
p = n²ˣ-² Q + nˣ⁺¹ j + nˣ d + nˣ-¹ h + 1
L = n²ˣ-² H + nˣ⁺¹ j + n ˣd + n ˣ-¹(h-2) + 1 , y por tanto
( p - L ) = n²ˣ-²( Q - H ) + 2 n ˣ-¹ ; Q - H = W
elevado a "n" :
p ⁿ - Lⁿ - n p L ( p -L ) S = [ nˣ -¹ ( n ˣ-¹ w + 2 ) ] ⁿ
p ⁿ = nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f + n r + 2 ) + L ⁿ + n p L (p- L) S
a la vista de esta ecuación y la del enunciado ,
nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f + n r + 2 ) - n ˣⁿ-¹ ≡ 0 ( módulo p )
hemos de hacer constar que " f " tiene un valor elevado,toda vez
que ,
nˣⁿ-ⁿ ( n ˣ f +n r + 2 ) es mayor que nˣⁿ-ⁿ ;
nˣⁿ-ⁿ w ⁿ , es mayor que n ˣⁿ-¹
pues bien ,
nˣⁿ-ⁿ⁺ˣ f + nˣⁿ-ⁿ⁺¹ r + nˣⁿ-ⁿ . 2 - n ˣⁿ-¹ es diferente a p . B
teniendo en cuenta que ,
p = n²ˣ-² Q + n ˣ⁺¹ j + n ˣ d + n ˣ-¹ h + 1
y aunque demos a "B" los valores ,
B = nˣⁿ-ⁿ i , para " i " menor que "n" , o bien ,
B = n ˣⁿ-ⁿ . n . i + n ˣⁿ-ⁿ. b , para "b" menor que "n"
queda demostrada la imposibilidad a la que este apartado hace
referencia.
Imposibilidad de nˣⁿ-¹ K ⁿ + L ⁿ + 2 n ˣK L p t = p ⁿ = P
En este caso los valores serían :
g = n ˣ K M ; Z = n ˣ K L p t ; g - Z = n ˣⁿ-¹ Kⁿ
a = L . R ; a - Z = L ⁿ ; a = L ⁿ + nˣ K L p t
A la vista de la ecuación 4 B , y siguiendo la misma operativa del
apartado anterior, conocemos que ,
Z = n ²ˣ-¹ F + n ˣ
Otro tanto podemos decir de los valores "p", "L" , con lo que,
pⁿ = nˣⁿ-¹ K ⁿ + n²ˣ-¹ J + n ˣ⁺² j + n ˣ⁺¹ d + n ˣ ( h-2) +
+ 2 n²ˣ-¹ F + 2 n ˣ = P
en función de los valores de "p" y de "L" ,
( p - L ) ⁿ = ( n ²ˣ-² W + 2 n ˣ-¹ ) ⁿ
de este desarrollo restaríamos nˣⁿ-¹ K ⁿ , en vez de n ˣⁿ-¹,
nˣⁿ-ⁿ⁺ˣ f + nˣⁿ-ⁿ⁺¹ r + n ˣⁿ-ⁿ . 2 - nˣⁿ-¹ K ⁿ , es diferente
de p . B
por los motivos indicados en el anterior apartado.
Con todo ello hemos demostrado la imposibilidad de,
a ⁿ + g ⁿ = C ⁿ , cuando los factores comunes de "g" "Z"
son n ˣ K , y por otra parte , el factor común entre "a" "Z" es
"L" .-
domingo, 25 de mayo de 2008
Los dos cuadrados de Fermat
Casi todos los procesos de factorización de números enteros,y mé-
todos empleados en criptografía , toman como base dos cuadrados.
[( x + y) /2 ] ² ; [ ( x - y) /2 ] ²
A dichos cuadrados se les conoce bajo en el nombre de "cuadrados
de Fermat" , ya que fué éste quien les dió a conocer en su sistema
de factorización.
El presente trabajo tiene como objeto principal,conocer la relación
entre los citados cuadrados y otros dos cuadrados conocidos :
[ ( N + 1 ) /2 ] ² ; [ ( N - 1 ) / 2 ] ² , en los que N = x . y
El resumen de nuestro trabajo está contenido en las siguientes :
Propiedades de los cuadrados de Fermat
1).-Dado un número , N , entero , positivo , impar , no múltiplo de
3 ni de 5 , ya que esta condición se aprecia a simple vista , cuyos
factores son "x" "y" , la diferencia entre el cuadrado de la semi-su-
ma de "N+1" y el cuadrado de la semi-suma de sus factores es con-
gruente "cero" , módulo 144.
[(N+1)/2 ] ² - [ ( x + y)/2 ] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
2).-Relativo a dicho número , la diferencia entre el cuadrado de la
semi-resta de ( N - 1) y el cuadrado de la semi-resta de sus facto-
res es congruente cero , módulo 144.
[(N-1)/2] ² - [ ( x - y)/2] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
3).-La condición suficiente para que un número N,par,positivo,sea
suma de dos cuadrados, es que el producto de las bases de dichos
factores , elevadas al cuadrado , más la unidad ,sea congruente en
dicho valor de N ( módulo 192 )
En nuestra demostración partimos de "N", como hemos dicho , en-
tero , positivo . compuesto , no múltiplo de 3 ni de 5 , impar ,
N = x . y ; ( N+1)² ─ (x . y ) ² = 4 D ,después del correspondiente
desarrollo ,
(N+1)² ─(x+y)² = 4 D = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
En un principio hemos de precisar que N, puede estar encuadrada
en uno de estos 3 grupos .
Grupo 1
N ≡ ± 3 ( módulo 8 )
Grupo 2
N ≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 1 ( módulo 8 )
Grupo 3
N≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 3 ( módulo 8)
Habíamos dejado nuestro estudio en:
(N+1)² ─ (x + y) ² = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
Si "N" pertenece al Grupo 3º :
Si (x-1) no es múltiplo de 4, lo será (x+1) , o viceversa.
Si (y-1) no es múltiplo de 4 , lo será (y+1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4 d .2e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 16 )
Si "N" pertenece al Grupo 1 :
Si (x+1) no es múltiplo de 8 , lo será (x-1), o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 8 , lo será (y-1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4d .2e .2f ) :4 ,que es
≡ 0 ( módulo 32 )
Si "N" pertenece al Grupo 2 :
Si (x+1) no es múltiplo de 16 , lo será (x-1) , o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 16 , lo será (y-1) , o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (8c. 2d . 8e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 64 )
Por otra parte, como ni "x" ni "y" son múltiplos de "3" :
Si (x+1) es múltiplo de 3 , (x-1) no lo será.
Si (y+1) es múltiplo de 3 , (y-1) no lo será.
o viceversa en ambas.
Conclusión :
a) Si "N" es del Grupo 3 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1): 4 ≡ 0 ( módulo 144 )
b) Si "N" es del Grupo 1 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 288 )
c) Si "N" es del Grupo 2 :
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 576 )
Con esto queda demostrada la primera propiedad . Siguiendo el
mismo procedimiento quedaría demostrada la segunda propie-
dad , relativa a:
[( N-1)/2]² ─ [(x-y)/2]²
En cuanto a la demostración de la tercera propiedad, es una con-
secuencia de la primera ,
(N+1)²─ (x + y )² = 576 a
( x . y ) ─ 576 a + 1 = x² + y ²
esto sería válido para todo "N",positivo,compuesto,en el que nin-
guno de sus factores es múltiplo de 3.
Para generalizarlo a todo "N" , par, quedaría :
( x . y ) ² ─ 192 a + 1 = N , o lo que es lo mismo ,
[(x . y ) ² + 1 ] ≡ ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )
todos empleados en criptografía , toman como base dos cuadrados.
[( x + y) /2 ] ² ; [ ( x - y) /2 ] ²
A dichos cuadrados se les conoce bajo en el nombre de "cuadrados
de Fermat" , ya que fué éste quien les dió a conocer en su sistema
de factorización.
El presente trabajo tiene como objeto principal,conocer la relación
entre los citados cuadrados y otros dos cuadrados conocidos :
[ ( N + 1 ) /2 ] ² ; [ ( N - 1 ) / 2 ] ² , en los que N = x . y
El resumen de nuestro trabajo está contenido en las siguientes :
Propiedades de los cuadrados de Fermat
1).-Dado un número , N , entero , positivo , impar , no múltiplo de
3 ni de 5 , ya que esta condición se aprecia a simple vista , cuyos
factores son "x" "y" , la diferencia entre el cuadrado de la semi-su-
ma de "N+1" y el cuadrado de la semi-suma de sus factores es con-
gruente "cero" , módulo 144.
[(N+1)/2 ] ² - [ ( x + y)/2 ] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
2).-Relativo a dicho número , la diferencia entre el cuadrado de la
semi-resta de ( N - 1) y el cuadrado de la semi-resta de sus facto-
res es congruente cero , módulo 144.
[(N-1)/2] ² - [ ( x - y)/2] ² ≡ 0 ( módulo 144 )
3).-La condición suficiente para que un número N,par,positivo,sea
suma de dos cuadrados, es que el producto de las bases de dichos
factores , elevadas al cuadrado , más la unidad ,sea congruente en
dicho valor de N ( módulo 192 )
En nuestra demostración partimos de "N", como hemos dicho , en-
tero , positivo . compuesto , no múltiplo de 3 ni de 5 , impar ,
N = x . y ; ( N+1)² ─ (x . y ) ² = 4 D ,después del correspondiente
desarrollo ,
(N+1)² ─(x+y)² = 4 D = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
En un principio hemos de precisar que N, puede estar encuadrada
en uno de estos 3 grupos .
Grupo 1
N ≡ ± 3 ( módulo 8 )
Grupo 2
N ≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 1 ( módulo 8 )
Grupo 3
N≡ ± 1 ( módulo 8 )
"x" "y" ≡ ± 3 ( módulo 8)
Habíamos dejado nuestro estudio en:
(N+1)² ─ (x + y) ² = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
Si "N" pertenece al Grupo 3º :
Si (x-1) no es múltiplo de 4, lo será (x+1) , o viceversa.
Si (y-1) no es múltiplo de 4 , lo será (y+1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4 d .2e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 16 )
Si "N" pertenece al Grupo 1 :
Si (x+1) no es múltiplo de 8 , lo será (x-1), o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 8 , lo será (y-1), o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (4c . 4d .2e .2f ) :4 ,que es
≡ 0 ( módulo 32 )
Si "N" pertenece al Grupo 2 :
Si (x+1) no es múltiplo de 16 , lo será (x-1) , o viceversa.
Si (y+1) no es múltiplo de 16 , lo será (y-1) , o viceversa.
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 = (8c. 2d . 8e .2f ) : 4 , que es
≡ 0 ( módulo 64 )
Por otra parte, como ni "x" ni "y" son múltiplos de "3" :
Si (x+1) es múltiplo de 3 , (x-1) no lo será.
Si (y+1) es múltiplo de 3 , (y-1) no lo será.
o viceversa en ambas.
Conclusión :
a) Si "N" es del Grupo 3 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1): 4 ≡ 0 ( módulo 144 )
b) Si "N" es del Grupo 1 ,
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 288 )
c) Si "N" es del Grupo 2 :
(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) : 4 ≡ 0 ( módulo 576 )
Con esto queda demostrada la primera propiedad . Siguiendo el
mismo procedimiento quedaría demostrada la segunda propie-
dad , relativa a:
[( N-1)/2]² ─ [(x-y)/2]²
En cuanto a la demostración de la tercera propiedad, es una con-
secuencia de la primera ,
(N+1)²─ (x + y )² = 576 a
( x . y ) ─ 576 a + 1 = x² + y ²
esto sería válido para todo "N",positivo,compuesto,en el que nin-
guno de sus factores es múltiplo de 3.
Para generalizarlo a todo "N" , par, quedaría :
( x . y ) ² ─ 192 a + 1 = N , o lo que es lo mismo ,
[(x . y ) ² + 1 ] ≡ ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )
sábado, 24 de mayo de 2008
Sumas de cuadrados.-Condiciones
No todo número puede ser representado como suma de dos cuadra-
dos.
Pierre de Fermat (1601 -1665) ,conocido como el padre de la Teoría
de números, en carta de 25 de diciembre de 1640 , dirigida a Marin
Mersenne, fraile franciscano,enunció el teorema que afirmaba que
un número primo de la forma 4 n+1 , puede expresarse de una ma-
nera como suma de dos cuadrados. Añadía que si un número primo ,
que es suma de dos cuadrados, se multiplica por otro número primo,
que también es suma de dos cuadrados , el producto sería la suma
de dos cuadrados de dos formas distintas.
Fermat también afirmó,que ningún primo de la forma 4 n + 3 ,puede
expresarse como suma de dos cuadrados.
Existe un fórmula sencilla , ya usada por Diofanto:
(a² + b²) (c² + d²) = (a c+b d) ²+(a d-b c) ² = (a c-b d) ²+(a d+b c)²
que permite observar que el producto de dos números que son su-
ma de dos cuadrados , es también suma de dos cuadrados.
Entre otros matemáticos que estudiaron este problema , podemos
citar a Bachet ,en sus comentarios al Libro de Diofanto , François
Viète y Albert Girad ( 1595 - 1612 ).
Este último afirmaba,que un número es suma de dos cuadrados , si
es un cuadrado,o es el 2, o es 1 más múltiplo de 4, ó un producto de
tales números.
En nuestro estudio,hacemos referencia a todo número N , entero ,
positivo,impar,no múltiplo de un cuadrado, ni múltiplo de 3 .
Pueden ser primos o compuestos.Los números múltiplos de cuadra-
do se dividirán por estas cifras tantas veces como lo permita el nú-
mero ,hasta obtener el número N, válido para el estudio.
Al final del estudio , se tendrá en cuenta esta simplificación.
Condiciones necesarias y suficientes para que un número
sea suma de dos cuadrados.
Como sabemos , la condición necesaria pero no suficiente , es que ,
"N" sea congruente la unidad , módulo 4.
Teorema
Como condiciones necesarias y suficientes citaré aquellas en las que
se fundamenta el presente teorema, y que más adelante justifico :
a).-Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un resto cuadrático R
módulo el citado N , tiene que existir otra pareja de cuadrados, que
genere como resto (N-R).
b).-Para que"N"sea igual a la suma de dos cuadrados,es preciso que
"N"sea igual a la suma de dos cuadrados consecutivos , más el doble
del producto de dos números consecutivos.
N = e ² + ( e + 1 ) ² + 2 f ( f + 1 )
c).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos ,sea congruente la uni-
dad módulo N.
g ² + ( g + 1 ) ² + ( g + 2 ) ² + ( g + 3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )
Podemos citar 2 condiciones necesarias y suficientes,que tienen su
fundamento en las arriba citadas.
d)Igualmente será condición necesaria y suficiente , que (N+1) sea
igual a la suma de 4 cuadrados consecutivos , más 16 veces el pro-
ducto de dos determinados números consecutivos.
N+ 1 = [ (a-3)/2]²+ [(a-1)/2]² + [( a+ 1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+16 t ( t+1)
e).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos pares, sea congruente
16,módulo N.
h ² + ( h +2 ) ²+ ( h + 4 ) ²+ ( h + 6 ) ² ≡ 16 ( módulo N )
A continuación vamos a justificar el por qué de las citadas condicio-
nes .
Justificación A
Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un residuo cuadrático R ,
módulo el citado N,tiene que existir al menos otra pareja de cuadra-
dos que genere el resto N-R.
Creemos que esta condición está suficientemente justificada ,y con
argumentos diversos.Citaremos uno :
N = a ² + b ² a ² = R b ² = N - R
otro cualquier resto cuadrático , f ² ≡ R (2) ( módulo N )
Teniendo en cuenta una de las propiedades de los restos cuadráticos,
el producto de multiplicar dos restos , genera otro resto .
Luego tiene que existir un resto "r",que multiplicado por "R", genere
como resto R(2).
R . r ≡ R(2) ( módulo N ).- Siendo esto así ,
(N -R) . r ≡ [(N - R(2) )] ( módulo N )
Conociendo el cuadrado que da como resto N-1,es fácil determinar
cualquier cuadrado que proporcione el resto (N-R)
Ejemplo :
N = 3977 = a ² + b ² = 61 ² + 16 ² = 29 ² + 56 ²
C ² ≡ ( N - 1) ( mód. N ) ; C = ( d N - b ) / a ; C = (3977 d - 61)/16 .
resolvemos la ecuación diofántica , d = 5 , C = 1239
1239 ² ≡ 3976 ( módulo 3977 ) ; K ² ≡ R ( módulo N )
K ² ≡ ( N - R ) ( módulo N )
Justificación B
N = e ² + ( e+ 1 ) ² + 2 f ( f + 1 ) ; N = a ² + b ² ; a > b;
e = ( a + b - 1)/2 ; f = a - e - 1 = e . b
N = e ² +( e + 1) ² + 2 f ( f + 1) =
= [(a+b+1)/ 2] ² + [ ( a + b - 1)/2 ] ² + [ ( a - b)² - 1 ]/2
Esto es fácilmente demostrable,
[ ( a + b+ 1)/2 ] ² + [(a + b -1)/2] ² = [( a + b )² + 1 ] / 2
la diferencia entre,
a ² + b ² - [( a + b) ² + 1]/2 = [( a - b) ² -1]/ 2 ,
y como quiera que ,
( a - b) ² - 1 = ( a - b + 1) ( a -b - 1 )
[( a - b) ² - 1 ]/2 es igual al producto de multiplicar 2 , por
dos números consecutivos.
Ejemplo :
N = 12.719.837 = 2348 ² + 2347 ² + (2 × 921 × 922)
127.198.837 = (2348 + 921)² + (2347 - 921) ² =
N = 12.719.837 = 3269 ² + 1426 ²
Justificación C
Esto hace referencia a :
g² + ( g+1 ) ² + (g+2 ) ² + (g+3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )
g = [ ( N - 2 C - 3) ]/2 ; C ² ≡ (N-1 ) ( módulo N )
g² = [(g-3)/2]²+ [(g-1)/2]² + [(g+1)/2]² +[(g+3)/2]² ─ 5
Ejemplo :
359 ² = 178² + 179 ² + 180 ² + 181 ² ─ 5
[(g- 3)/2]² + [(g-1)/2]²+ [(g+1)/2]²+[(g+3)/2]² ─ 5 = g²
Por otra parte, si consideramos que :
C ² ≡ ( N -1 ) ( módulo N); C ² ≡ - 1 ( módulo N )
( 2 C ) ² ≡ ( N - 1) ( mód . N ) ; 2 C = par ; ( n - 2 C )= impar
[(N - 2 C - 3)/2]² + [(N-2 C - 1)/2]² + [(N-2 C + 1)/2]² +
+ [(N- 2 C + 3 )/2] ² ─ 5 ≡ -4 ( módulo N )
la suma de los 4 cuadrados es congruente más uno , módulo N.
Justificación E
Esta decía :
h² + (h+ 2)² + (h+4)² + (h+6)² ≡ 16 ( módulo N ) ; h = C - 3
Si multiplicamos por 2 ² , la ecuación de la condición C ,llegaría-
mos a :
(2g + 6) ² = g ² + (g+2) ² + (g+4) ²+(g+6) ² ─ 20
Ejemplo :
718 ² = 356 ² + 358 ² + 360² + 362² + 20 ,
para (2g+6) ≡ 2 ( módulo 4 )
Recordemos que tiene que existir un cuadrado :
( 2 g + 6 ) ² ≡ - 4 ( módulo N )
(2 h + 6)² = h ² + (h+2) ² + ( h+4 ) ² + (h+6 ) ² ≡ 16 ( mód.N)
N = 3977; 1239 ² ≡ - 1 ( mod.3977 ) ; 2478 ² ≡ - 4 ( mód.3977)
1236² + 1238²+1240²+1242² ≡ 16 ( módulo 3977 )
Justificación D
N+ 1= [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [a+1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+ 16 t ( t + 1) ; t = ( b - 2) /4
N = a ² +b ² ; N ≡ - 3 ( módulo 8) ≡ 1 ( módulo 4 ) ;
a> 1 ; b> 1 . Consideramos "a" el cuadrado impar :
b ≡ 2 ( módulo 4 )
En base a lo expuesto en las condiciones anteriores ,
N = [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [(a+1)/2]² + [( a +3)/2]² +
[(b-6)/2]² + [(b-2)/2]² + [(b+2)/2]² + [(b+6)/2]²─ 25
sumamoa a N , la unidad. El término independiente será ,
( ─ 24 )
La segunda parte de la ecuación ,elevamos sus términos al
cuadrado,
(b²-12b+36+b²-4b+4+b²+4b+4+b²+12b+36-96)/ 4= b²- 4
habíamos dicho que b≡ 2 ( mód. 4 ) ; b = 2 + 4 t
N+1= = [(a-3)/2]² +[(a-1)/2]²+[(a+1)/2]² + [(a+3)/2]²
+ 16 t ( t+1)
Ejemplo :
N = 15.993.157 = 3999² + 34² ; t = (34 - 2)/4 = 8
15.993.158= 1998² +1999²+2000²+2001² + 16 ( 8 × 9 )
dos.
Pierre de Fermat (1601 -1665) ,conocido como el padre de la Teoría
de números, en carta de 25 de diciembre de 1640 , dirigida a Marin
Mersenne, fraile franciscano,enunció el teorema que afirmaba que
un número primo de la forma 4 n+1 , puede expresarse de una ma-
nera como suma de dos cuadrados. Añadía que si un número primo ,
que es suma de dos cuadrados, se multiplica por otro número primo,
que también es suma de dos cuadrados , el producto sería la suma
de dos cuadrados de dos formas distintas.
Fermat también afirmó,que ningún primo de la forma 4 n + 3 ,puede
expresarse como suma de dos cuadrados.
Existe un fórmula sencilla , ya usada por Diofanto:
(a² + b²) (c² + d²) = (a c+b d) ²+(a d-b c) ² = (a c-b d) ²+(a d+b c)²
que permite observar que el producto de dos números que son su-
ma de dos cuadrados , es también suma de dos cuadrados.
Entre otros matemáticos que estudiaron este problema , podemos
citar a Bachet ,en sus comentarios al Libro de Diofanto , François
Viète y Albert Girad ( 1595 - 1612 ).
Este último afirmaba,que un número es suma de dos cuadrados , si
es un cuadrado,o es el 2, o es 1 más múltiplo de 4, ó un producto de
tales números.
En nuestro estudio,hacemos referencia a todo número N , entero ,
positivo,impar,no múltiplo de un cuadrado, ni múltiplo de 3 .
Pueden ser primos o compuestos.Los números múltiplos de cuadra-
do se dividirán por estas cifras tantas veces como lo permita el nú-
mero ,hasta obtener el número N, válido para el estudio.
Al final del estudio , se tendrá en cuenta esta simplificación.
Condiciones necesarias y suficientes para que un número
sea suma de dos cuadrados.
Como sabemos , la condición necesaria pero no suficiente , es que ,
"N" sea congruente la unidad , módulo 4.
Teorema
Como condiciones necesarias y suficientes citaré aquellas en las que
se fundamenta el presente teorema, y que más adelante justifico :
a).-Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un resto cuadrático R
módulo el citado N , tiene que existir otra pareja de cuadrados, que
genere como resto (N-R).
b).-Para que"N"sea igual a la suma de dos cuadrados,es preciso que
"N"sea igual a la suma de dos cuadrados consecutivos , más el doble
del producto de dos números consecutivos.
N = e ² + ( e + 1 ) ² + 2 f ( f + 1 )
c).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos ,sea congruente la uni-
dad módulo N.
g ² + ( g + 1 ) ² + ( g + 2 ) ² + ( g + 3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )
Podemos citar 2 condiciones necesarias y suficientes,que tienen su
fundamento en las arriba citadas.
d)Igualmente será condición necesaria y suficiente , que (N+1) sea
igual a la suma de 4 cuadrados consecutivos , más 16 veces el pro-
ducto de dos determinados números consecutivos.
N+ 1 = [ (a-3)/2]²+ [(a-1)/2]² + [( a+ 1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+16 t ( t+1)
e).-Que la suma de 4 cuadrados consecutivos pares, sea congruente
16,módulo N.
h ² + ( h +2 ) ²+ ( h + 4 ) ²+ ( h + 6 ) ² ≡ 16 ( módulo N )
A continuación vamos a justificar el por qué de las citadas condicio-
nes .
Justificación A
Para todo N,suma de dos cuadrados,dado un residuo cuadrático R ,
módulo el citado N,tiene que existir al menos otra pareja de cuadra-
dos que genere el resto N-R.
Creemos que esta condición está suficientemente justificada ,y con
argumentos diversos.Citaremos uno :
N = a ² + b ² a ² = R b ² = N - R
otro cualquier resto cuadrático , f ² ≡ R (2) ( módulo N )
Teniendo en cuenta una de las propiedades de los restos cuadráticos,
el producto de multiplicar dos restos , genera otro resto .
Luego tiene que existir un resto "r",que multiplicado por "R", genere
como resto R(2).
R . r ≡ R(2) ( módulo N ).- Siendo esto así ,
(N -R) . r ≡ [(N - R(2) )] ( módulo N )
Conociendo el cuadrado que da como resto N-1,es fácil determinar
cualquier cuadrado que proporcione el resto (N-R)
Ejemplo :
N = 3977 = a ² + b ² = 61 ² + 16 ² = 29 ² + 56 ²
C ² ≡ ( N - 1) ( mód. N ) ; C = ( d N - b ) / a ; C = (3977 d - 61)/16 .
resolvemos la ecuación diofántica , d = 5 , C = 1239
1239 ² ≡ 3976 ( módulo 3977 ) ; K ² ≡ R ( módulo N )
K ² ≡ ( N - R ) ( módulo N )
Justificación B
N = e ² + ( e+ 1 ) ² + 2 f ( f + 1 ) ; N = a ² + b ² ; a > b;
e = ( a + b - 1)/2 ; f = a - e - 1 = e . b
N = e ² +( e + 1) ² + 2 f ( f + 1) =
= [(a+b+1)/ 2] ² + [ ( a + b - 1)/2 ] ² + [ ( a - b)² - 1 ]/2
Esto es fácilmente demostrable,
[ ( a + b+ 1)/2 ] ² + [(a + b -1)/2] ² = [( a + b )² + 1 ] / 2
la diferencia entre,
a ² + b ² - [( a + b) ² + 1]/2 = [( a - b) ² -1]/ 2 ,
y como quiera que ,
( a - b) ² - 1 = ( a - b + 1) ( a -b - 1 )
[( a - b) ² - 1 ]/2 es igual al producto de multiplicar 2 , por
dos números consecutivos.
Ejemplo :
N = 12.719.837 = 2348 ² + 2347 ² + (2 × 921 × 922)
127.198.837 = (2348 + 921)² + (2347 - 921) ² =
N = 12.719.837 = 3269 ² + 1426 ²
Justificación C
Esto hace referencia a :
g² + ( g+1 ) ² + (g+2 ) ² + (g+3 ) ² ≡ 1 ( módulo N )
g = [ ( N - 2 C - 3) ]/2 ; C ² ≡ (N-1 ) ( módulo N )
g² = [(g-3)/2]²+ [(g-1)/2]² + [(g+1)/2]² +[(g+3)/2]² ─ 5
Ejemplo :
359 ² = 178² + 179 ² + 180 ² + 181 ² ─ 5
[(g- 3)/2]² + [(g-1)/2]²+ [(g+1)/2]²+[(g+3)/2]² ─ 5 = g²
Por otra parte, si consideramos que :
C ² ≡ ( N -1 ) ( módulo N); C ² ≡ - 1 ( módulo N )
( 2 C ) ² ≡ ( N - 1) ( mód . N ) ; 2 C = par ; ( n - 2 C )= impar
[(N - 2 C - 3)/2]² + [(N-2 C - 1)/2]² + [(N-2 C + 1)/2]² +
+ [(N- 2 C + 3 )/2] ² ─ 5 ≡ -4 ( módulo N )
la suma de los 4 cuadrados es congruente más uno , módulo N.
Justificación E
Esta decía :
h² + (h+ 2)² + (h+4)² + (h+6)² ≡ 16 ( módulo N ) ; h = C - 3
Si multiplicamos por 2 ² , la ecuación de la condición C ,llegaría-
mos a :
(2g + 6) ² = g ² + (g+2) ² + (g+4) ²+(g+6) ² ─ 20
Ejemplo :
718 ² = 356 ² + 358 ² + 360² + 362² + 20 ,
para (2g+6) ≡ 2 ( módulo 4 )
Recordemos que tiene que existir un cuadrado :
( 2 g + 6 ) ² ≡ - 4 ( módulo N )
(2 h + 6)² = h ² + (h+2) ² + ( h+4 ) ² + (h+6 ) ² ≡ 16 ( mód.N)
N = 3977; 1239 ² ≡ - 1 ( mod.3977 ) ; 2478 ² ≡ - 4 ( mód.3977)
1236² + 1238²+1240²+1242² ≡ 16 ( módulo 3977 )
Justificación D
N+ 1= [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [a+1)/2]² + [(a+3)/2]² +
+ 16 t ( t + 1) ; t = ( b - 2) /4
N = a ² +b ² ; N ≡ - 3 ( módulo 8) ≡ 1 ( módulo 4 ) ;
a> 1 ; b> 1 . Consideramos "a" el cuadrado impar :
b ≡ 2 ( módulo 4 )
En base a lo expuesto en las condiciones anteriores ,
N = [(a-3)/2]² + [(a-1)/2]² + [(a+1)/2]² + [( a +3)/2]² +
[(b-6)/2]² + [(b-2)/2]² + [(b+2)/2]² + [(b+6)/2]²─ 25
sumamoa a N , la unidad. El término independiente será ,
( ─ 24 )
La segunda parte de la ecuación ,elevamos sus términos al
cuadrado,
(b²-12b+36+b²-4b+4+b²+4b+4+b²+12b+36-96)/ 4= b²- 4
habíamos dicho que b≡ 2 ( mód. 4 ) ; b = 2 + 4 t
N+1= = [(a-3)/2]² +[(a-1)/2]²+[(a+1)/2]² + [(a+3)/2]²
+ 16 t ( t+1)
Ejemplo :
N = 15.993.157 = 3999² + 34² ; t = (34 - 2)/4 = 8
15.993.158= 1998² +1999²+2000²+2001² + 16 ( 8 × 9 )
viernes, 23 de mayo de 2008
Ejercicios de residuos cuadraticos.-Matematicas
1).-El número 839.243 es igual a 977 × 859.-Calcular el cuadrado
que genera como resto cuadrático " R " , sabiendo , que R ≡ 591
( módulo 859 ) y R≡ 598 ( módulo 977 ).
2).-Sabiendo que el resto R(x) = 304 , y que el resto R(x+10) es
igual a 536 , encontrar otro resto cuadrático R(y) que multiplica-
do por R(x), nos dé R(x+10), módulo 1037.
3).-Igualmente sabiendo que R(x) = 304 , y que R(x+10) es igual
a 536, hallar el residuo cuadrático R ( x)/ R(z) ≡R(x+10), para un
módulo 1037.
4).-Dado un número, N = 22257 = 61 × 37 ,y un resto cúbico R(3)
igual a 2246, hallar el cubo que lo genera.
5).-Partiendo de N = 1.591 = 43 × 37 , determinar los cuadrados
los cuadrados que generan "1", como residuo cuadrático.
6).-Se trata de un número compuesto, N = 714.641 , que es igual a
983 × 727. Hallar los cuadrados que tienen como residuo las bases
de dichos cuadrados.
7).-Calcular el cuadrado que para módulo 47 , tiene como resto 37
sabiendo que 37 elevado al cubo es congruente 9² , módulo 47.
8).-Hallar el cuadrado que genera como resto 933, módulo 1063.-
Sabemos que 933 elevado al cubo es congruente 735 ² , para un
módulo 1063.
9).-Dado el residuo cuadrático , R(x) = 78 , de N = 83 ,determinar
dos restos cuadráticos cuyo producto tenga como resto , R(x).
10).-Los cuadrados 396.221 ² y 17.413.260 ² generan como resto
138.343, para un módulo 49.090.351.-Hallar los factores de dicho
número.
--------------------------------------------
Solución ejercicio 1
N = 977 × 850 = 839.243 ; n² ≡ R ( módulo 839243 )
R ≡ 591 ( módulo 859 ) ; R ≡ 598 ( módulo 977 )
591 + 859 a = 598 + 977 b ; 859 a = 977 ( b + 1) ─ 970 ; b = 444
591 + (505 × 859 ) = 434386 ; R = 434.386
297²≡ 591 ( módulo 859 ) ; 368² ≡ 598 ( módulo 977 )
297 + 859 a = 368 + 977 b
859 a = 977 ( b + 1) ─ 906 ; (822× 927) + 368 = 803.462
803.462 ² ≡ 434.386 ( módulo 839.343 ) , y también ,
368 ─ 297 = 71; 859 a = 977 b─ 71 ; a = 42
( 42× 859 )─ 297 = 35781; 35781 ² ≡ 434.386 ( mód.839243)
----------------------------------------
Solución ejercicio 2
304 a = 1037 b ─ 536 ; R(x).R(y) = R(x+10)
x + y - 1 = x + 10 ; Y = 11
R(y) = R(11) ; 304 a = 1037 b─ 536 ; a = 353
1037 ─ 353 = 684 ; R(11)= 684
304 × 684 ≡ 536 ( módulo 1037 )
-----------------------------------------
Solución ejercicio 3
( x - z + 1) = x + 1 ; z = - 11 ; R(x)/R(z)≡R(x+10) ( mód.1037)
R(x)≡ R(x+10).R(-9) ( módulo 1037 ) ; R (11) = 684
R( -11) = 47 : 684 × 47 ≡ 1 ( módulo 1037 )
R(11).R(-11) = R(1) ≡ 1 ( módulo 1037 )
------------------------------------------
Solución ejercicio 4
N = 22257 = 51 × 37 ; resto cúbico = 2246
2246 ≡ 26 ( módulo 37 ) ; 2246 ≡ 50 ( módulo 61 )
9 ³ ≡ 26 ( módulo 37 ) ; 11 ³ ≡ 50 ( módulo 61 )
9 + 37 a = 11 + 61 b ; 37 a = 61 ( b + 1 ) - 59 ; a = 5
5 × 37 = 185 ; 185 + 9 = 194
194 ² ≡ 2246 ( módulo 2257 )
-------------------------------------------------
Solución ejercicio 5
1591 = 43 × 57 ; 37 a = 43 b - 2 ; a = 29 ; 29 × 37 = 1073
1073 + 1 = 1074 ; 1074² ≡ 1 ( módulo 1591 )
1074 = ( 29 x 37 + 1 ) ; 1074 = (25 × 43 ) - 1
-------------------------------------------------
Solución ejercicio 6
N = 983 × 727 = 714.641 ; 927 a = 983 b - 2 ; a = 192
192 × 727 = 139584 ; 139584 + 1 = 138.585
139.585 ² ≡ 1 ( mód.714.641 ) ; 575.056 ² ≡ 1 ( mód.714.641 )
(575.056 + 714.641 + 1)/ 2 = 644.849
644.849² ≡ 644.849 ( módulo 714.641 )
el otro cuadrado será , 714641 +1 -644.849 = 69.793
69.793 ² ≡ 69.793 ( módulo 714.641 )
--------------------------------------------
Solución ejercicio 7
Partiendo del multiplicador "37", hallar el otro multiplicador que
genere el "9"
37 a = 47 b - 0 ; a = 15 ; 47-15 = 32 ;
32 × 37 = 1184 ≡ 9 ( módulo 47 )
32 ² ≡ 37 ( módulo 47 )
--------------------------------------------------
Solución ejercicio 8
Habrá que calcular el segundo multiplicador que genere el "735",
módulo 1063.
933 a = 1063 b - 735 ; a = 946
1063 ─ 946 = 117
117 ² ≡ 933 ( módulo 1063 )
-----------------------------------------------
Solución ejercicio 9
N = 83 ; R(x) = 78 , tomamos un resto cualquiera,por ejemplo el 77 ,
83─ 78 = 5 ; a = 70 ; 77 a = 83 (b + 1) - 5 ;
70 × 77 ≡ 78 ( módulo 83 )
---------------------------------------------------
Solución ejercicio 10
396.221 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 ) ;
17.413.260 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )
a x + 396.221 = 17.413.260 ; b x + 17.413.260 = 49.486.572
x . y = 49.090.351 ; a x = 17.017.029 ; bx = 32.073.312
34.034.078 ─ 32.073.312 = 1960.766
9 × 1.960.766 = 17.646.894 ;
17.646.894 - 17-017-039 = 629.855
629.855 : 5 = 125.971
1.960.766 ─ ( 15 x 125.971 ) = 71.201
125.971 - 71201 = 54.770 ; 54770 : 10 = 5477
49.090.351 = 5477 × 8963
--------------------------------------------
que genera como resto cuadrático " R " , sabiendo , que R ≡ 591
( módulo 859 ) y R≡ 598 ( módulo 977 ).
2).-Sabiendo que el resto R(x) = 304 , y que el resto R(x+10) es
igual a 536 , encontrar otro resto cuadrático R(y) que multiplica-
do por R(x), nos dé R(x+10), módulo 1037.
3).-Igualmente sabiendo que R(x) = 304 , y que R(x+10) es igual
a 536, hallar el residuo cuadrático R ( x)/ R(z) ≡R(x+10), para un
módulo 1037.
4).-Dado un número, N = 22257 = 61 × 37 ,y un resto cúbico R(3)
igual a 2246, hallar el cubo que lo genera.
5).-Partiendo de N = 1.591 = 43 × 37 , determinar los cuadrados
los cuadrados que generan "1", como residuo cuadrático.
6).-Se trata de un número compuesto, N = 714.641 , que es igual a
983 × 727. Hallar los cuadrados que tienen como residuo las bases
de dichos cuadrados.
7).-Calcular el cuadrado que para módulo 47 , tiene como resto 37
sabiendo que 37 elevado al cubo es congruente 9² , módulo 47.
8).-Hallar el cuadrado que genera como resto 933, módulo 1063.-
Sabemos que 933 elevado al cubo es congruente 735 ² , para un
módulo 1063.
9).-Dado el residuo cuadrático , R(x) = 78 , de N = 83 ,determinar
dos restos cuadráticos cuyo producto tenga como resto , R(x).
10).-Los cuadrados 396.221 ² y 17.413.260 ² generan como resto
138.343, para un módulo 49.090.351.-Hallar los factores de dicho
número.
--------------------------------------------
Solución ejercicio 1
N = 977 × 850 = 839.243 ; n² ≡ R ( módulo 839243 )
R ≡ 591 ( módulo 859 ) ; R ≡ 598 ( módulo 977 )
591 + 859 a = 598 + 977 b ; 859 a = 977 ( b + 1) ─ 970 ; b = 444
591 + (505 × 859 ) = 434386 ; R = 434.386
297²≡ 591 ( módulo 859 ) ; 368² ≡ 598 ( módulo 977 )
297 + 859 a = 368 + 977 b
859 a = 977 ( b + 1) ─ 906 ; (822× 927) + 368 = 803.462
803.462 ² ≡ 434.386 ( módulo 839.343 ) , y también ,
368 ─ 297 = 71; 859 a = 977 b─ 71 ; a = 42
( 42× 859 )─ 297 = 35781; 35781 ² ≡ 434.386 ( mód.839243)
----------------------------------------
Solución ejercicio 2
304 a = 1037 b ─ 536 ; R(x).R(y) = R(x+10)
x + y - 1 = x + 10 ; Y = 11
R(y) = R(11) ; 304 a = 1037 b─ 536 ; a = 353
1037 ─ 353 = 684 ; R(11)= 684
304 × 684 ≡ 536 ( módulo 1037 )
-----------------------------------------
Solución ejercicio 3
( x - z + 1) = x + 1 ; z = - 11 ; R(x)/R(z)≡R(x+10) ( mód.1037)
R(x)≡ R(x+10).R(-9) ( módulo 1037 ) ; R (11) = 684
R( -11) = 47 : 684 × 47 ≡ 1 ( módulo 1037 )
R(11).R(-11) = R(1) ≡ 1 ( módulo 1037 )
------------------------------------------
Solución ejercicio 4
N = 22257 = 51 × 37 ; resto cúbico = 2246
2246 ≡ 26 ( módulo 37 ) ; 2246 ≡ 50 ( módulo 61 )
9 ³ ≡ 26 ( módulo 37 ) ; 11 ³ ≡ 50 ( módulo 61 )
9 + 37 a = 11 + 61 b ; 37 a = 61 ( b + 1 ) - 59 ; a = 5
5 × 37 = 185 ; 185 + 9 = 194
194 ² ≡ 2246 ( módulo 2257 )
-------------------------------------------------
Solución ejercicio 5
1591 = 43 × 57 ; 37 a = 43 b - 2 ; a = 29 ; 29 × 37 = 1073
1073 + 1 = 1074 ; 1074² ≡ 1 ( módulo 1591 )
1074 = ( 29 x 37 + 1 ) ; 1074 = (25 × 43 ) - 1
-------------------------------------------------
Solución ejercicio 6
N = 983 × 727 = 714.641 ; 927 a = 983 b - 2 ; a = 192
192 × 727 = 139584 ; 139584 + 1 = 138.585
139.585 ² ≡ 1 ( mód.714.641 ) ; 575.056 ² ≡ 1 ( mód.714.641 )
(575.056 + 714.641 + 1)/ 2 = 644.849
644.849² ≡ 644.849 ( módulo 714.641 )
el otro cuadrado será , 714641 +1 -644.849 = 69.793
69.793 ² ≡ 69.793 ( módulo 714.641 )
--------------------------------------------
Solución ejercicio 7
Partiendo del multiplicador "37", hallar el otro multiplicador que
genere el "9"
37 a = 47 b - 0 ; a = 15 ; 47-15 = 32 ;
32 × 37 = 1184 ≡ 9 ( módulo 47 )
32 ² ≡ 37 ( módulo 47 )
--------------------------------------------------
Solución ejercicio 8
Habrá que calcular el segundo multiplicador que genere el "735",
módulo 1063.
933 a = 1063 b - 735 ; a = 946
1063 ─ 946 = 117
117 ² ≡ 933 ( módulo 1063 )
-----------------------------------------------
Solución ejercicio 9
N = 83 ; R(x) = 78 , tomamos un resto cualquiera,por ejemplo el 77 ,
83─ 78 = 5 ; a = 70 ; 77 a = 83 (b + 1) - 5 ;
70 × 77 ≡ 78 ( módulo 83 )
---------------------------------------------------
Solución ejercicio 10
396.221 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 ) ;
17.413.260 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )
a x + 396.221 = 17.413.260 ; b x + 17.413.260 = 49.486.572
x . y = 49.090.351 ; a x = 17.017.029 ; bx = 32.073.312
34.034.078 ─ 32.073.312 = 1960.766
9 × 1.960.766 = 17.646.894 ;
17.646.894 - 17-017-039 = 629.855
629.855 : 5 = 125.971
1.960.766 ─ ( 15 x 125.971 ) = 71.201
125.971 - 71201 = 54.770 ; 54770 : 10 = 5477
49.090.351 = 5477 × 8963
--------------------------------------------
Residuo cuadratico uno
Todo número ,entero ,positivo ,impar ,compuesto, que llamaremos
"N", tiene como mínimo cuatro cuadrados,menores que N, que ele-
vados al cuadrado generen como residuo cuadrático la unidad.
"A priori " conocemos dos de ellos : 1 ² ; ( N - 1 ) ²
El presente trabajo , que exponemos bajo el título de "Residuo cua-
drático uno", da a conocer los procedimientos a través de los cuales
es posible hallar los otros dos cuadrados menores que N , que tam-
bién generen el "1" como resto cuadrático . A su vez el conocer esto
nos proporciona :
1).-Saber los factores que dividen a "N". Factorización que tiene co-
mo base los cuadrados de Fermat.
2).-Nos informa de que la base de uno de los cuadrados , es igual a
la diferencia de dos números, que tiene de particular que al ser ele-
vados al cuadrado, sus congruencias son iguales a sus bases , módu-
lo "N".
3).-Proporciona mediante una simple operación , el hallar los 3º y
cuarto cuadrados que generan como residuo 2², 3² etc..
4).-Nos muestra la relación directa de los citados dos cuadrados,con
los cuadrados de factorización de Fermat.
5).-Por último pone a nuestra disposición las citadas propiedades o
peculiaridades , que pueden base de otros estudios.
Procedimientos para conocer los cuadrados que generan
como resto cuadrático la unidad.
Procedimiento A
N = impar, compuesto,positivo = A ² + B ² = C ² + D ²
planteamos la ecuación diofántica , N × c ─ B = A × e , y nos propor-
ciona que ,
e ² ≡ - 1 ( módulo N ) , e igualmente planteamos otra ecuación ,
N × d ─ D = f × C , en la que también, f² ≡ -1 ( módulo N )
multiplicamos, e² × f ² ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ²
61317 c ─ 141 = 206 e , resolviendo la ecuación, e = 5747
por otra parte, 62317 d ─ 179 = 174 f ; f = 12534
5747² ≡ 62316 ( mód.62317 ) ; 12534² ≡ 62316 ( mod.62317)
5747 × 12534 = 56763 ( módulo 62317 )
56763 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
En cuanto a la factorización del número 62317, las bases de los
cuatro cuadrados son :
62316 1 56763 5554
62316 - 56763 = 9 × 617 ; 62316 ─ 5554 = 562 × 101
N = 62317 = 617 × 101
Procedimiento B
Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números
consecutivos que tengan como factores entre otros a "x" "y" ,
N = x . y ; a . x = b . y ; d . x = e ( y + 1)
( b . y ) ² ≡ b . y ( módulo N ) ; ( d . x )² ≡ d . x ( módulo N )
( b . y - d . x ) ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 617 × 101 ; 617 a + 1 = 101 b ; b = 336 ;
336 × 101 = 33936 ; 617 a = 101 b +1 ; a = 46 ;
46 × 617 = 28382 ; 33936 ─ 28382 = 5554 ;
5554² ≡ 1 ( módulo 62317 ) ; 33936 ≡ 1 ( mód.62317 )
33936 ² ≡ 33936 ( mód.62317 )
28382 ²≡ 28382 ( mód.62317 )
Procedimiento C
Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat :
N = x . y F ² ─ N = f ² ; B . N ─ F = a . f
a ² ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 671 × 101 .-
Las bases de los cuadrados de Fermat son:
( 617 + 101 )/2 = 359 ; ( 617 ─101) = 258
62317 b ─ 258 = 359 a ; a = 5554
5554 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
"N", tiene como mínimo cuatro cuadrados,menores que N, que ele-
vados al cuadrado generen como residuo cuadrático la unidad.
"A priori " conocemos dos de ellos : 1 ² ; ( N - 1 ) ²
El presente trabajo , que exponemos bajo el título de "Residuo cua-
drático uno", da a conocer los procedimientos a través de los cuales
es posible hallar los otros dos cuadrados menores que N , que tam-
bién generen el "1" como resto cuadrático . A su vez el conocer esto
nos proporciona :
1).-Saber los factores que dividen a "N". Factorización que tiene co-
mo base los cuadrados de Fermat.
2).-Nos informa de que la base de uno de los cuadrados , es igual a
la diferencia de dos números, que tiene de particular que al ser ele-
vados al cuadrado, sus congruencias son iguales a sus bases , módu-
lo "N".
3).-Proporciona mediante una simple operación , el hallar los 3º y
cuarto cuadrados que generan como residuo 2², 3² etc..
4).-Nos muestra la relación directa de los citados dos cuadrados,con
los cuadrados de factorización de Fermat.
5).-Por último pone a nuestra disposición las citadas propiedades o
peculiaridades , que pueden base de otros estudios.
Procedimientos para conocer los cuadrados que generan
como resto cuadrático la unidad.
Procedimiento A
N = impar, compuesto,positivo = A ² + B ² = C ² + D ²
planteamos la ecuación diofántica , N × c ─ B = A × e , y nos propor-
ciona que ,
e ² ≡ - 1 ( módulo N ) , e igualmente planteamos otra ecuación ,
N × d ─ D = f × C , en la que también, f² ≡ -1 ( módulo N )
multiplicamos, e² × f ² ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ²
61317 c ─ 141 = 206 e , resolviendo la ecuación, e = 5747
por otra parte, 62317 d ─ 179 = 174 f ; f = 12534
5747² ≡ 62316 ( mód.62317 ) ; 12534² ≡ 62316 ( mod.62317)
5747 × 12534 = 56763 ( módulo 62317 )
56763 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
En cuanto a la factorización del número 62317, las bases de los
cuatro cuadrados son :
62316 1 56763 5554
62316 - 56763 = 9 × 617 ; 62316 ─ 5554 = 562 × 101
N = 62317 = 617 × 101
Procedimiento B
Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números
consecutivos que tengan como factores entre otros a "x" "y" ,
N = x . y ; a . x = b . y ; d . x = e ( y + 1)
( b . y ) ² ≡ b . y ( módulo N ) ; ( d . x )² ≡ d . x ( módulo N )
( b . y - d . x ) ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 617 × 101 ; 617 a + 1 = 101 b ; b = 336 ;
336 × 101 = 33936 ; 617 a = 101 b +1 ; a = 46 ;
46 × 617 = 28382 ; 33936 ─ 28382 = 5554 ;
5554² ≡ 1 ( módulo 62317 ) ; 33936 ≡ 1 ( mód.62317 )
33936 ² ≡ 33936 ( mód.62317 )
28382 ²≡ 28382 ( mód.62317 )
Procedimiento C
Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat :
N = x . y F ² ─ N = f ² ; B . N ─ F = a . f
a ² ≡ 1 ( módulo N )
Ejemplo :
N = 62317 = 671 × 101 .-
Las bases de los cuadrados de Fermat son:
( 617 + 101 )/2 = 359 ; ( 617 ─101) = 258
62317 b ─ 258 = 359 a ; a = 5554
5554 ² ≡ 1 ( módulo 62317 )
Factorizacion en suma de cuadrados
Se trata de factorizar un número"N",entero,positivo,impar,compuesto
y suma de cuadrados :
N≡ 1 ( módulo 4) ; N = a ² + b ²= c ² + d ² ; N = x . y
de estos cuatro cuadrados, dos son pares y los otros dos impares,
a = ( 2 p + 1); c = ( 2 n + 1) ; b ≡ 0 ( módulo 2); d≡ 0 ( mód. 2)
2 p + 1 + 2 n + 1 = 2 ( p + n + 1 ) ; de + b = 2 k
N será igual a la suma de 4 cuadrados,
( p + n + 1)² + (2 p + 1 -p -n - 1 )² + k² + ( d - k ) ² = N
Se hace la división factorial de cada sumando ,
( p + n + 1 ) = T . R ; ( 2 p + 1 - p - n -1 ) = S.R ;
k = V . S ; d - k = V . T ;
teniendo en cuenta los factores comunes ,
( T² + S ² ) ( V ² + R² ) = N
T ² + S ² = x ; V ² + R ² = y
Ejemplo :
N = 122.297.537 = 9316 ² + 5959² = 10849² + 2144²
( 9316 + 2144)/2 = 5730 ; ( 5959 + 10849 )/ 2 = 8404
(9316 ─ 5730 ) = 3586 ; ( 10849 ─ 8404 ) = 2445
122.297.537 = 5730 ² + 8404 ² + 3586 ² + 2445 ²
5730 = 2 × 3 ×5 × 191 ; 1804 = 2 ×2 × 11 ×191
3586 = 2 × 11 × 163 ; 2445 = 3 × 5 × 163
N =[ ( 5 ² × 3 ² ) + ( 2 ² × 11 ² ) ] [ 163 ² + (191 ² × 2 ² ) ]
x = ( 5² × 3 ² ) + ( 2 ² × 11 ² ) = 709
y = 163 ² + ( 191 ² × 2 ² ) = 172.493
N = 122.297.537 = 709 × 172.493
y suma de cuadrados :
N≡ 1 ( módulo 4) ; N = a ² + b ²= c ² + d ² ; N = x . y
de estos cuatro cuadrados, dos son pares y los otros dos impares,
a = ( 2 p + 1); c = ( 2 n + 1) ; b ≡ 0 ( módulo 2); d≡ 0 ( mód. 2)
2 p + 1 + 2 n + 1 = 2 ( p + n + 1 ) ; de + b = 2 k
N será igual a la suma de 4 cuadrados,
( p + n + 1)² + (2 p + 1 -p -n - 1 )² + k² + ( d - k ) ² = N
Se hace la división factorial de cada sumando ,
( p + n + 1 ) = T . R ; ( 2 p + 1 - p - n -1 ) = S.R ;
k = V . S ; d - k = V . T ;
teniendo en cuenta los factores comunes ,
( T² + S ² ) ( V ² + R² ) = N
T ² + S ² = x ; V ² + R ² = y
Ejemplo :
N = 122.297.537 = 9316 ² + 5959² = 10849² + 2144²
( 9316 + 2144)/2 = 5730 ; ( 5959 + 10849 )/ 2 = 8404
(9316 ─ 5730 ) = 3586 ; ( 10849 ─ 8404 ) = 2445
122.297.537 = 5730 ² + 8404 ² + 3586 ² + 2445 ²
5730 = 2 × 3 ×5 × 191 ; 1804 = 2 ×2 × 11 ×191
3586 = 2 × 11 × 163 ; 2445 = 3 × 5 × 163
N =[ ( 5 ² × 3 ² ) + ( 2 ² × 11 ² ) ] [ 163 ² + (191 ² × 2 ² ) ]
x = ( 5² × 3 ² ) + ( 2 ² × 11 ² ) = 709
y = 163 ² + ( 191 ² × 2 ² ) = 172.493
N = 122.297.537 = 709 × 172.493
Ejercicio Matematicas.-Suma de cuadrados
1).-Partiendo de N= 3293 = 53² + 22² y sabiendo que 1301² ≡ 3292
(módulo 3293) ,hallar los factores de "N" así como los cuadrados que
tengan como residuo (N-1).
2).-El número , N = 11659 es igual a la diferencia de dos cuadrados ,
110²─ 21².Hallar los factores de "N".
3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133² + 48². Calcular el cuadrado que
genera como resto R(x)=16.744.Téngase en cuenta que R(x) es igual
( N - 57²).
4).-N= 26.689 , tiene como factores 13 y 2053. Descomponer "N" en
suma de cuadrados.
5).-Hallar los divisores del numero N = 56.117, sabiendo que es igual
a 169² + 166² = 226² + 71².
6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del nú-
mero 28.845.
7).-El número 26.890 es igual a 135² + 92².Hallar sus factores.
8).-Representar un cuadrado como diferencia entre la suma de dos
de dos grupos de tres cuadrados.
-------------------------------------
Solución ejercicio 1
N = 3293 ; x = 89 ; y = 37 ; 3293 = 53² + 22² =2809+484
1301 ² ≡ 3292 ( 3293 ) ; 22 ² x 1301 ² ≡ 2278 ( módulo 3.293 )
53² x 1301 ² ≡ 3093 ( 3293 ) ; 3093 ² ≡ 484 ( módulo 3293 )
3093 ─ 22 = 3071 = 37 x 83 ; 2278 ─ 53 = 2225 = 25 x 89
22 a = 3292 b + 53 ; a = 2547
53 a = 3293 b + 22 ; a = 746
2547 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )
746 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )
---------------------------------
Solución ejercicio 2
N = 11659 ; 110² ─ 21 ² = 11659
21 a = 11659 b - 10 ; a = 9433 ; 9433² ≡ 1 ( mod.11659 )
11658² ≡ 1 ( 11659 ) ; 9433² ≡ 1 ( módulo 11659 )
( 11658 ─ 9433 ) ² = 2225² = 55 x 89
N = 11659 = 89 x 131
----------------------------------
Solución ejercicio 3
N = 19993 = primo = 133² + 48 ² ; R(x) = 16744
48 a = 1993 b + 133 ; a = 14581
14581² ≡ 19992 ( módulo 19993)
------------------
R.........................C T O..................C.....
10898 x 3249 = 19.992....................19.992²............. 5.412²
19992 x 3249 = 16.744.....................19.936²............. 8.589²
16744 x 3249 = .....303.......................6.744².............. 9.741²
303 x 3249.... = ..4.790.......................4.737²............ 15.426²
4790 x 3249.. = ..8.156..........................303².............19.583²
8156 X 3249.. =.. 8.119......................17.271²............16.616²
La columna "C" indica los cuadrados que generan los restos de la
columna "R".La columna "CTO" son los cuadrados que tienen co-
mo residuo cudra´tico (N-R) . De arriba hacia abajo las cifras de
las columnas CTO , C , se multiplican por "57".
57² ≡ 3249 ( módulo 19993) ; 19936² ≡ 3249 ( módulo 19993)
3249² ≡ 15203 ( módulo 19993) ; 14581² ≡ 19992 ( módulo 19993 )
3240 ² ≡ 15.203 ( mód.19.993) ; 19.993 - 4.790 = 15.203
-----------------------------
Solución ejercicio 4
N = 26.689 = 13 x 2.053 = ( 2 ² + 3 ²) ( 17 ² + 42 ²) =
= ( 34 ² +51 ²)+(84 ² +126 ²) = (84 ² +51 ²)+(126 ²+ 34 ²) =
= 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ²
-------------------
a + b = 135 ; c + d = 160 ; a - b = 33 ; c - d = 92
a = 84 ; c = 34 ; b = 51 ; d = 126 ;
26.689 = 34 ² + 51 ² + 84 ² + 126 ²
------------------------------------
Solución ejercicio 5
N = 56.117 = 169 ² + 166 ² = 226 ² + 71 ²
c + d = 169 ; a + b = 226 ; c - d = 71 ; a - b = 166 ;
c = 120 ; a = 196 ; d = 49 ; b = 30
-------------
a = 4 x 49 ; b = 2 x 15 ; c = 2 x 15 x 4 ; d = 7 x 7
49² + 30 ² = 3301 ; 4 ² + 1 ² = 17
56.117 = 3301 x 17
------------------------------------
Solución ejercicio 6
N = 28.845 = 99 ² + 138 ²; 28845 5 = 5769 ; 5 = 2² + 1²
5769 = 12 ² + 75 ²
( 12² + 75 ²) ( 2 ² + 1 ² ) = 24 ² + 150 ² +12 ² + 75 ²
(24 + 75 )² = 99² ; ( 150─ 12 )² = 138 ²
28.845² :45 = 641 ; 641 = 25² + 4 ²
45 = 6² + 3 ² ;
( 25 ² + 4 ² )( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² + 75 ² +12 ² )
28.845 = 162 ² + 51 ² = 138 ² + 99 ²
--------------------------------------
Solución ejercicio 7
N= 135 ² + 92 ²; multiplicado por 5 :
N = 270 ² + 184 ² + 135 ² + 92 ² = 362²+ 49²= 178² + 319 ²
a + b = 362 ; c + d = 319 ; a - b = 178 ; c - d = 49
a = 270 ; c = 184 ; b = 92 ; d = 135
a = 270 = 2 × 5 × 3 × 3 × 3 ; b = 92 = 2 × 2 × 23 ;
c = 184 = 2 × 2 ×2 × 23 ; d = 135 = 3 × 3 × 3 × 5
2² + 3 ² = 13; N = 26689 = 13 × 2053
-------------------------------------
Solución ejercicio 8
Todo cuadrado, entero,positivo,puede descomponerse como dife-
rencia entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados.
N² = (a²+b²+c²) - (d²+e²+f²) ; condición :
a + d = N ; b + c = N ; c + f = N ; c = 2 N - a - b
Ejemplo:
N = 161
161² = (101²+97²+124²) - (60²+64²+37²)
si,
(2N-a - b)≡ 1 ( módulo N)............. ( a + b )² ≡ 1 ( módulo N)
luego ¿ ( a + b)= N +1 ?.Es posible , pero no necesario.
(módulo 3293) ,hallar los factores de "N" así como los cuadrados que
tengan como residuo (N-1).
2).-El número , N = 11659 es igual a la diferencia de dos cuadrados ,
110²─ 21².Hallar los factores de "N".
3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133² + 48². Calcular el cuadrado que
genera como resto R(x)=16.744.Téngase en cuenta que R(x) es igual
( N - 57²).
4).-N= 26.689 , tiene como factores 13 y 2053. Descomponer "N" en
suma de cuadrados.
5).-Hallar los divisores del numero N = 56.117, sabiendo que es igual
a 169² + 166² = 226² + 71².
6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del nú-
mero 28.845.
7).-El número 26.890 es igual a 135² + 92².Hallar sus factores.
8).-Representar un cuadrado como diferencia entre la suma de dos
de dos grupos de tres cuadrados.
-------------------------------------
Solución ejercicio 1
N = 3293 ; x = 89 ; y = 37 ; 3293 = 53² + 22² =2809+484
1301 ² ≡ 3292 ( 3293 ) ; 22 ² x 1301 ² ≡ 2278 ( módulo 3.293 )
53² x 1301 ² ≡ 3093 ( 3293 ) ; 3093 ² ≡ 484 ( módulo 3293 )
3093 ─ 22 = 3071 = 37 x 83 ; 2278 ─ 53 = 2225 = 25 x 89
22 a = 3292 b + 53 ; a = 2547
53 a = 3293 b + 22 ; a = 746
2547 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )
746 ² ≡ 3292 ( módulo 3293 )
---------------------------------
Solución ejercicio 2
N = 11659 ; 110² ─ 21 ² = 11659
21 a = 11659 b - 10 ; a = 9433 ; 9433² ≡ 1 ( mod.11659 )
11658² ≡ 1 ( 11659 ) ; 9433² ≡ 1 ( módulo 11659 )
( 11658 ─ 9433 ) ² = 2225² = 55 x 89
N = 11659 = 89 x 131
----------------------------------
Solución ejercicio 3
N = 19993 = primo = 133² + 48 ² ; R(x) = 16744
48 a = 1993 b + 133 ; a = 14581
14581² ≡ 19992 ( módulo 19993)
------------------
R.........................C T O..................C.....
10898 x 3249 = 19.992....................19.992²............. 5.412²
19992 x 3249 = 16.744.....................19.936²............. 8.589²
16744 x 3249 = .....303.......................6.744².............. 9.741²
303 x 3249.... = ..4.790.......................4.737²............ 15.426²
4790 x 3249.. = ..8.156..........................303².............19.583²
8156 X 3249.. =.. 8.119......................17.271²............16.616²
La columna "C" indica los cuadrados que generan los restos de la
columna "R".La columna "CTO" son los cuadrados que tienen co-
mo residuo cudra´tico (N-R) . De arriba hacia abajo las cifras de
las columnas CTO , C , se multiplican por "57".
57² ≡ 3249 ( módulo 19993) ; 19936² ≡ 3249 ( módulo 19993)
3249² ≡ 15203 ( módulo 19993) ; 14581² ≡ 19992 ( módulo 19993 )
3240 ² ≡ 15.203 ( mód.19.993) ; 19.993 - 4.790 = 15.203
-----------------------------
Solución ejercicio 4
N = 26.689 = 13 x 2.053 = ( 2 ² + 3 ²) ( 17 ² + 42 ²) =
= ( 34 ² +51 ²)+(84 ² +126 ²) = (84 ² +51 ²)+(126 ²+ 34 ²) =
= 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ²
-------------------
a + b = 135 ; c + d = 160 ; a - b = 33 ; c - d = 92
a = 84 ; c = 34 ; b = 51 ; d = 126 ;
26.689 = 34 ² + 51 ² + 84 ² + 126 ²
------------------------------------
Solución ejercicio 5
N = 56.117 = 169 ² + 166 ² = 226 ² + 71 ²
c + d = 169 ; a + b = 226 ; c - d = 71 ; a - b = 166 ;
c = 120 ; a = 196 ; d = 49 ; b = 30
-------------
a = 4 x 49 ; b = 2 x 15 ; c = 2 x 15 x 4 ; d = 7 x 7
49² + 30 ² = 3301 ; 4 ² + 1 ² = 17
56.117 = 3301 x 17
------------------------------------
Solución ejercicio 6
N = 28.845 = 99 ² + 138 ²; 28845 5 = 5769 ; 5 = 2² + 1²
5769 = 12 ² + 75 ²
( 12² + 75 ²) ( 2 ² + 1 ² ) = 24 ² + 150 ² +12 ² + 75 ²
(24 + 75 )² = 99² ; ( 150─ 12 )² = 138 ²
28.845² :45 = 641 ; 641 = 25² + 4 ²
45 = 6² + 3 ² ;
( 25 ² + 4 ² )( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² + 75 ² +12 ² )
28.845 = 162 ² + 51 ² = 138 ² + 99 ²
--------------------------------------
Solución ejercicio 7
N= 135 ² + 92 ²; multiplicado por 5 :
N = 270 ² + 184 ² + 135 ² + 92 ² = 362²+ 49²= 178² + 319 ²
a + b = 362 ; c + d = 319 ; a - b = 178 ; c - d = 49
a = 270 ; c = 184 ; b = 92 ; d = 135
a = 270 = 2 × 5 × 3 × 3 × 3 ; b = 92 = 2 × 2 × 23 ;
c = 184 = 2 × 2 ×2 × 23 ; d = 135 = 3 × 3 × 3 × 5
2² + 3 ² = 13; N = 26689 = 13 × 2053
-------------------------------------
Solución ejercicio 8
Todo cuadrado, entero,positivo,puede descomponerse como dife-
rencia entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados.
N² = (a²+b²+c²) - (d²+e²+f²) ; condición :
a + d = N ; b + c = N ; c + f = N ; c = 2 N - a - b
Ejemplo:
N = 161
161² = (101²+97²+124²) - (60²+64²+37²)
si,
(2N-a - b)≡ 1 ( módulo N)............. ( a + b )² ≡ 1 ( módulo N)
luego ¿ ( a + b)= N +1 ?.Es posible , pero no necesario.
Formula de suma de cuadrados
En nuestro estudio "Sumas de cuadrados.-Condiciones", en el apar-
tado b) citábamos como condición,que el número N , fuese igual a la
suma de dos cuadrados consecutivos , más dos veces el producto de
dos números consecutivos.
Por otra parte decíamos que "N" es número entero,positivo,impar ,
primo o compuesto,no múltiplo de tres ,ni múltiplo de cuadrado.So-
bre estos dos casos trataremos al final de este trabajo.
N = C(1) + C(2) + ( 2 a ² + 2 a )
Pues bien , esta fórmula , no solo nos da a conocer nuevos números
que son suma de dos cuadrados,sino que deben de estar todos repre
sentados en ella.
Si partimos de dos cuadrados consecutivos, tomados al azar , y para
cualquier valor entero , positivo, de " a " , a> 0 , nos proporcionará
siempre números que son suma de dos cuadrados.
Ejemplo :
C(1) = 13 ; C(2) = 14; N = 13² + 14 ² + ( 2 a²+ 2a ) , da lugar a :
N = 369, 377 , 389 , 405 , 425 , 449......... 785...........
en la cual podemos comprobar que todos los valores de "N" , son su-
ma de cuadrados.Pero lógicamente , no están todos, 373, 397,.. etc..
Si comenzamos la sucesión para todo valor de C(1) , a partir de cero
tendremos la relación completa de números ,suma de 2 cuadrados.
N = o²+1² + (2a²+2a) = 5 , 13 , 25 . 41 . 61 , 85....
N = 1²+2² + (2a²+2a) = 9 , 17 , 29 , 45, 65 , 89 ,.....
N = 2²+3²+ (2a²+2a) = 17 , 25 , 37 , 53 , 73 , 97.....
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
N = 85 ²+86²+(2a²+2a) = 14625 ; 14633 ; 14645;14661 ; 14681...
14625= 85²+86²+4 = 87²+84²=67²+68²+2(52x53)=120²+15²
14633= 85²+86²+12=88²+83²= primo
14645= 85²+86²+24=89²+82²=61²+62²+2(59x60)=121²+2²
14681= 85²+86²+60=91²+80²=75²+76²+2(40x41)=116²+35²
Podemos observar :
a) Que 85+86= 171=87+84=88+83=89+81=91+80
b) Que (67 + 68 = 135= 120+15) (61+62=123=121+12)
c) Que 75+76 ) = 151 = 116+35
d) Que los números primos solo se representan como una pareja
de cuadrados.
----------------------------
Números que son múltiplos de cuadrados
En este caso se trata de números de la forma :
N = x . y . d ²
lo que procedería en este caso, es dividir"N"por d².Con el cocien-
te se seguiría el mismo proceso.
-----------------------------
Números que son múltiplo de tres
Hemos de distinguir :
a)"N" es múltiplo de tres,pero no de nueve.
b)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia par.
c)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia impar.
En el primer caso "N" no puede ser suma de dos cuadrados,por-
que la suma de 2 cuadrados no puede ser divisble por 3 , y nó por
nueve.
En el segundo caso dividiríamos " N " por 3 elevado a la potencia
par.Con el cociente se seguiría el proceso general.
En el tercer caso , aunque dividamos N por 3 elevado a potencia
par ,el cociente sería divisible por 3 y no por nueve,coincidiendo
con el primer caso.
tado b) citábamos como condición,que el número N , fuese igual a la
suma de dos cuadrados consecutivos , más dos veces el producto de
dos números consecutivos.
Por otra parte decíamos que "N" es número entero,positivo,impar ,
primo o compuesto,no múltiplo de tres ,ni múltiplo de cuadrado.So-
bre estos dos casos trataremos al final de este trabajo.
N = C(1) + C(2) + ( 2 a ² + 2 a )
Pues bien , esta fórmula , no solo nos da a conocer nuevos números
que son suma de dos cuadrados,sino que deben de estar todos repre
sentados en ella.
Si partimos de dos cuadrados consecutivos, tomados al azar , y para
cualquier valor entero , positivo, de " a " , a> 0 , nos proporcionará
siempre números que son suma de dos cuadrados.
Ejemplo :
C(1) = 13 ; C(2) = 14; N = 13² + 14 ² + ( 2 a²+ 2a ) , da lugar a :
N = 369, 377 , 389 , 405 , 425 , 449......... 785...........
en la cual podemos comprobar que todos los valores de "N" , son su-
ma de cuadrados.Pero lógicamente , no están todos, 373, 397,.. etc..
Si comenzamos la sucesión para todo valor de C(1) , a partir de cero
tendremos la relación completa de números ,suma de 2 cuadrados.
N = o²+1² + (2a²+2a) = 5 , 13 , 25 . 41 . 61 , 85....
N = 1²+2² + (2a²+2a) = 9 , 17 , 29 , 45, 65 , 89 ,.....
N = 2²+3²+ (2a²+2a) = 17 , 25 , 37 , 53 , 73 , 97.....
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
N = 85 ²+86²+(2a²+2a) = 14625 ; 14633 ; 14645;14661 ; 14681...
14625= 85²+86²+4 = 87²+84²=67²+68²+2(52x53)=120²+15²
14633= 85²+86²+12=88²+83²= primo
14645= 85²+86²+24=89²+82²=61²+62²+2(59x60)=121²+2²
14681= 85²+86²+60=91²+80²=75²+76²+2(40x41)=116²+35²
Podemos observar :
a) Que 85+86= 171=87+84=88+83=89+81=91+80
b) Que (67 + 68 = 135= 120+15) (61+62=123=121+12)
c) Que 75+76 ) = 151 = 116+35
d) Que los números primos solo se representan como una pareja
de cuadrados.
----------------------------
Números que son múltiplos de cuadrados
En este caso se trata de números de la forma :
N = x . y . d ²
lo que procedería en este caso, es dividir"N"por d².Con el cocien-
te se seguiría el mismo proceso.
-----------------------------
Números que son múltiplo de tres
Hemos de distinguir :
a)"N" es múltiplo de tres,pero no de nueve.
b)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia par.
c)"N" es múltiplo de tres,elevado a una potencia impar.
En el primer caso "N" no puede ser suma de dos cuadrados,por-
que la suma de 2 cuadrados no puede ser divisble por 3 , y nó por
nueve.
En el segundo caso dividiríamos " N " por 3 elevado a la potencia
par.Con el cociente se seguiría el proceso general.
En el tercer caso , aunque dividamos N por 3 elevado a potencia
par ,el cociente sería divisible por 3 y no por nueve,coincidiendo
con el primer caso.
Ejercicio de factorizacion.- Matematicas
Factorizar N = 3.972.361 , en función de los residuos cuadráticos,
módulo 144.
---------------------------------------------
[ (N+1)/2]² ≡121 ( módulo 144 )
Los cuadrados congruentes +121 , módulo 144 son:
11-29-43-61-83-101-115-133
Cuando " N " termina en 61 , las unidades del cuadrado incógnita
han de terminar en "5", o las decenas en 19-31-69-81 . El punto
de partida , será por aproximación ,la raíz cuadrada de "N".
( 13 x 144) + 133 = 2005 ; (2005² - N ) no ≡ 0 ( módulo b²)
(144 x144) + 29 = 2045 ; (2045² - N ) no ≡ 0 ( módulo b²)
seguimos probando bases,pero solo las que terminen en :
5 ó 19-31-69-81
( 14 x 144) + 115 = 2131 ; (2131² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
( 15 x 144 )+ 115 = 2275 ; (2275² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 11 = 2325 ; (2325² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 61 = 2365 ; (2365² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 101 = 2405 ; (2405² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
( 16 x 144 )+ 115 = 2419 ; (2419² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(17 x 144)+ 83 = 2531 ; (2531² - N ) ≡ 0 (mód. 1560²)
2531 ± 1560 = 4.091 y 971
N = 3.972.361 = 4091 x 971
módulo 144.
---------------------------------------------
[ (N+1)/2]² ≡121 ( módulo 144 )
Los cuadrados congruentes +121 , módulo 144 son:
11-29-43-61-83-101-115-133
Cuando " N " termina en 61 , las unidades del cuadrado incógnita
han de terminar en "5", o las decenas en 19-31-69-81 . El punto
de partida , será por aproximación ,la raíz cuadrada de "N".
( 13 x 144) + 133 = 2005 ; (2005² - N ) no ≡ 0 ( módulo b²)
(144 x144) + 29 = 2045 ; (2045² - N ) no ≡ 0 ( módulo b²)
seguimos probando bases,pero solo las que terminen en :
5 ó 19-31-69-81
( 14 x 144) + 115 = 2131 ; (2131² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
( 15 x 144 )+ 115 = 2275 ; (2275² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 11 = 2325 ; (2325² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 61 = 2365 ; (2365² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(16 x 144 ) + 101 = 2405 ; (2405² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
( 16 x 144 )+ 115 = 2419 ; (2419² - N ) no ≡ 0 ( módulo b² )
(17 x 144)+ 83 = 2531 ; (2531² - N ) ≡ 0 (mód. 1560²)
2531 ± 1560 = 4.091 y 971
N = 3.972.361 = 4091 x 971
Pasatiempo.-Algebra
Este problema nos le planteó,en mi etapa de estudiante,el catedrá-
tico de inglés.
Un acaudalado inglés que vivía en Londres , recibe un telegrama
de su hijo que estudiaba y residía en Oxford. El texto decía: " send
more money ".
El padre,previo los correspondientes cáculos para descifrar el men-
saje le cursó dos transferencias a su cuenta corriente.
El problema o pasatiempo consiste en averiguar el importe de cada
una de las dos transferencias impuestas, sabiendo que :
a).-Cada letra del texto del telegrama tiene un valor de 0 a 9.
b).-Dos letras diferentes no pueden tener el mismo valor.
c).-Las palabras "send""more"hacen referencia al importe de cada
una de las dos transferencias.
d).-La palabra "money" se identifica como la suma total.
tico de inglés.
Un acaudalado inglés que vivía en Londres , recibe un telegrama
de su hijo que estudiaba y residía en Oxford. El texto decía: " send
more money ".
El padre,previo los correspondientes cáculos para descifrar el men-
saje le cursó dos transferencias a su cuenta corriente.
El problema o pasatiempo consiste en averiguar el importe de cada
una de las dos transferencias impuestas, sabiendo que :
a).-Cada letra del texto del telegrama tiene un valor de 0 a 9.
b).-Dos letras diferentes no pueden tener el mismo valor.
c).-Las palabras "send""more"hacen referencia al importe de cada
una de las dos transferencias.
d).-La palabra "money" se identifica como la suma total.
Pasatiempo.-Algebra.-Solucion
En primer lugar escribiremos el mensaje en forma de suma :
send + more = money
A simple vista observamos que m=1 ; ( s + m ) = 10 ; 11 no puede ser porque "o"
tendrá valor "1" , ya que lo tiene "m" . Luego "o" será igual a cero.
"s" podría tener valor de 8 ó 9 . No puede ser 8 , porque ( e + o) < m =" 1" s =" 9" o =" 0" n =" e"> 11,
(n+r) + 1 = e + 10 ; r = 8.
Con esto queda ,
100 e + 10 e + 10 + d + 80 + e = 110 e + 100 + y
d + e = 10 + y , quedan dos opciones :
a) d =7 ; e = 6 ;
b) d =7 ; e = 5 ; la válida será e = 5
la solución completa es :
send = 9567 libras;......more = 1085 libras...........money = 10652 libras
send + more = money
A simple vista observamos que m=1 ; ( s + m ) = 10 ; 11 no puede ser porque "o"
tendrá valor "1" , ya que lo tiene "m" . Luego "o" será igual a cero.
"s" podría tener valor de 8 ó 9 . No puede ser 8 , porque ( e + o) < m =" 1" s =" 9" o =" 0" n =" e"> 11,
(n+r) + 1 = e + 10 ; r = 8.
Con esto queda ,
100 e + 10 e + 10 + d + 80 + e = 110 e + 100 + y
d + e = 10 + y , quedan dos opciones :
a) d =7 ; e = 6 ;
b) d =7 ; e = 5 ; la válida será e = 5
la solución completa es :
send = 9567 libras;......more = 1085 libras...........money = 10652 libras
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
