NUMEROS PRIMOS.-MERSENNE-FERMAT

Marin Mersenne ( 8-9-1588 a 1-9-1648),francés,filósofo,francis-

cano y matemático.-Pierre de Fermat (17-8-1601 a 12-1-1665)

francés,abogado y también matemático.

Marin Mersenne mantenía correspondencia con Descartes,Fermat

Galileo y otros matemáticos.-Pierre de Fermat solo mantenía rela-

ción y correspondencia con Mersenne.-A través de éste,Fermat in-

formaba de sus progresos matemáticos.

En el año 1641 Mersenne publicó un trabajo en el que dió a conocer

lo que desde entonces se conocería como los "números primos de

Mersenne".-Con dicho estudio demostró que :

"El número 2 elevado a la potencia P,(P=primo) restado la unidad ,

a veces, no siempre , es igual a un número primo:

2³ -1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 31 ; 2⁷ - 1 = 127 ;

pero (2¹¹ - 1 ) no es igual a número primo , es igual a 23 x 89

Desconocemos la demostración de Mersenne.- Una demostración

válida podría ser :

2 ⁿ - 1 = x ; 2 ⁿ = x + 1 ; multiplicado por 2 ⁿ, restamos la unidad ,

2²ⁿ -1 = 2 ⁿ x + 2 ⁿ - 1 ; 2²ⁿ - 1 = 2 ⁿ x + x , multiplicamos por 2 ⁿ

2³ⁿ - 1 = 2²ⁿ x + 2 ⁿ x + ( 2 ⁿ - 1 ).-Con esto se demuestra que:

1º.- ( 2 ʸⁿ - 1 ), no puede ser primo .

2º.-Que ( 2 ʸⁿ - 1 ) tendrá los divisores de 2 ⁿ - 1 y los de 2 ʸ - 1 ,

entre otros.

3º.-Que "2" elevado a una potencia "P",(P=primo),puede ser nú-

mero primo,conocido como "primo de Mersenne".

En cuanto a Pierre de Fermat , propuso la siguiente conjetura :

"El número "2" elevado a una potencia de "2" y sumado la unidad

es siempre número primo ".

Esta conjetura es válida para "2" elevado a las potencias 2,4,8 y 16

pero falla con "2" elevado a la potencia 32, más la unidad.

El fundamento de esta conjetura podría ser :

2 ⁿ + 1 = x ; multiplicado por 2² ⁿ ; 2 ³ⁿ + 2² ⁿ = 2 ² ⁿ x ;

2³ ⁿ = 2 ⁿ x - 2²ⁿ

2³ ⁿ + 1 = 2²ⁿ x - (2² ⁿ - 1 ) ; (2²ⁿ - 1) ≡ 0 ( módulo x ) , porque

2 ⁿ + 1 = x ;2²ⁿ + 2 ⁿ = 2 ⁿ x ; ( 2²ⁿ - 1) + ( 2 ⁿ + 1 ) = 2 ⁿ x

como 2ⁿ + 1 = x ; ( 2²ⁿ - 1) ≡ 0 ( módulo x ) , luego

2³ⁿ +1 ≡ 0 ( módulo x )

Como quiera que todo número no potencia de "2" ,es de la forma:

n = t ( 2 m + 1 ),siguiendo el mismo proceso llegaríamos a la con-

clusión de que :

1º.-( 2 ⁿ + 1 ) no puede ser número primo cuando n = t ( 2 m + 1 ),

es decir, "n" no es potencia de "2".

2º.-Que ( 2ⁿ + 1 ) tendrá como divisores los de 2 elevado a "t" más

la unidad.

3º.-Que ( 2ⁿ + 1 ) ,cuando "n" es potencia de "2",puede ser un nú-

mero primo.

Después de estas consideraciones, da la impresión de que los núme-

ros primos de Mersenne y los de Fermat, son fruto de la investiga-

ción de un mismo matemático.

Mersenne pudo ver pronto que "2" elevado a "P" menos uno , no ori-

ginaba número primo, en un número bajo, el 2047.

2¹¹ -1 = 2047 = 23 x 89

Fermat lo tenía más dificil,pues su conjetura falló en el número :

4.294.967.297 = 641 x 6.700.417

Por último podemos decir, si bien 2 ⁿ + 1 ,para todo valor de "n"

positivo , origina el producto de determinados números primos,

ejemplo:

2¹⁴+ 1 = 5 x 29 x 113

( 2 ⁿ -1 ) , para todo valor de "n", (de cero a infinito ), comprende el

producto de todos los números primos . Esto fué demostrado por el

matemático Fermat en su teorema :

2 elevado a "P-1",(P=primo) es congruente la unidad , módulo dicho

número primo .

GRUPOS DE NUMEROS PRIMOS

Los números primos podemos agruparlos siguiendo infinidad de
criterios. Nosotros vamos a hacerlo en función de sus congruen-
cias , módulo 24.
Así podemos establecer , (relacionados de 1 a 1000) cuatro gru-
pos :

Grupo nº 1

11-19-43-59-67-83-107-131-139-163-179-211-227-251-283-
307-331-347-379-419-443-467-491-499-523-547-563-571-
587-619-643-659-683-691-739-787-811-827-859-883-907-
947-971 (falta el 3 )

Estos números son congruentes 11 ó 19 , módulo 24.
No son suma de cuadrados.

Grupo nº 2

5-13-29-37-53-61-101-109-149-157-173-181-197-229-269-277
293-317-349-373-389-397-421-461-509-541-557-613-653-661
677-701-709-733-757-773-797-821-829-853-877-941-997

Estos números son congruentes 5 ó 13 , módulo 24.
Todos son suma de cuadrados.

Grupo nº 3

7-23-31-47-71-79-103-127-151-167-191-199-223-239-263-271
311-359-367-383-431-439-463-479-487-503-599-607-631-647
719-727-743-751-823-863-887-911-919-967-983-991

Estos números son congruentes 7 ó 23 . módulo 24.
No son suma de cuadrados.

Grupo nº 4

17-41-73-89-97-113-137-193-233-241-257-281-313-337-353
401-409-433-449-457-521-569-577-593-601-617-641-673-
761-769-809-857-881-929-937-953-977

Estos números son congruentes 1 ó 17 , módulo 24.
Todos son suma de cuadrados.

ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 8

16 x ⁵ - 817 y ³ = 223.835.312

233.835.312 ≡ 188 ( módulo 817 );..............módulo 817
............................................................-------------------------
817 + 16 = 833..................................833........................1
dividido por 10.................................165........................572
dividido por 5......................................33....................... 768
dividido por 11......................................3........................ 664
dividido por 3....................................... 1........................ 766
multiplicado por 188.........................188....................... 216

817 = 43 x 19 ; 216 ≡ 1 ( módulo 43 ).......216 ≡ 7 ( módulo 19 )

1 ⁵ ≡ 1 ( módulo 43 )................................11⁵ ≡ 7 ( módulo 19 )

1 - 11 = - 10 ; a = [19 b -(-10)] : 43 = 2

2 x 43 = 86 ; 86 - (-1) = 87

x = 87................................................... y = 460

ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 7

7x ⁴ - 851 y ² = 34.151

34.151 ≡ 111 ( módulo 851 ).........................módulo 851
851 = 23 x 37 ;...............................-----------------------------
851 + 7 =858....................................858...............................1
dividido por 2...................................429............................426
dividido por 3...................................143.............................142
dividido por 11....................................13............................245
dividido por 13.....................................1.............................608
multiplicado por 111........................111.............................259

259 ≡ 0 ( módulo 37 ) ; 259 ≡ 6 ( módulo 23 )

37 ⁴≡ 0 ( módulo 37 )...........................9⁴≡ 6 ( módulo 23 )

37 - 9 = 28; a = (37 b - 28 ) : 23 = 2

2 x 23 = 46 ; 46- 9 = 37 ;

x = 37.....................................................y = 124

ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 6

58 x⁴- 39 y = 811

811 : 58 = 13,90 ; raíz cuarta de 13,90.......................1,93 aprox.

58- 39 = 19........................................................módulo 39
...............................................................--------------------------
Diferencia de coeficientes............................19.................1
dividido por 19.............................................. 1................37
multiplicado por 31...................................... 31...............16 ó 29

16 elevado a la cuarta potencia es congruente 16,módulo 39

x = 16....................................................y = 97.443

x =(16+ 39 ) = 55................................y = 13.608.601

ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 5

30 x ² - 22 y ² = 99.912

99.912 ≡ 10 ( módulo 22 ).....................módulo 22
...............................................-------------------------------
coeficiente de "x ² ........................ 30..................... 1
dividido por 3 .................................10..................... 15

15 tiene que ser resto cuadrático , módulo 22.

13 ² ≡ 15 ( módulo 22 )

99912 : 30 = 3.330.40.................su raíz cuadrada aprox..>57

(22 x 7 ) + 13 = 167 ;............... x = 167............... y=183 ,

obtendríamos el mismo resultado :

99912 ≡ 12 ( módulo 30 )....................., módulo 30
..........................................................--------------------------
coeficiente de " y ²"............................ 22...................... 1
dividido por 11....................................... 2..................... 11
multiplicado por 9.................................18.......... .......... 9

n ² ≡ 9 ( módulo 30 ) ; 3² ≡ 9 ( módulo 30 )

x = 167........................................ y = 183

otros valores serían :
x = (22 x 9 ) + 13 = 211.......................y = 237

x =(22 x 30) + 13 = 673......................y = 783

ECUACIONES DIOFANTICAS.-EJERCICIO 4

123 x³ - 85 y = 330.201.002

330.201.002 ≡ 57 ( módulo 85 ) ; módulo 85
123 - 85 = 38 ;..................... --------------------------
123 - 85.............................................. 38............. 1
divid.por 2.......................................... 19............. 43
multipl.por 3....................................... 57............ 44

n ³ ≡ 44 ( módulo 85 ) ; n = 54 ; 54³ ≡ 44 ( módulo 85 )

330.201.002 : 123 = 2684560,99...su raíz cúbica aprox...> 139

54 + 85 = 139 = x......................................... y = 1531

54 + (2x85) = 224 = x.................................. y = 12.379.390

54 + ( 3 x 85 ) = 309 = x.............................. y = 38.808.769