Marin Mersenne ( 8-9-1588 a 1-9-1648),francés,filósofo,francis-
cano y matemático.-Pierre de Fermat (17-8-1601 a 12-1-1665)
francés,abogado y también matemático.
Marin Mersenne mantenía correspondencia con Descartes,Fermat
Galileo y otros matemáticos.-Pierre de Fermat solo mantenía rela-
ción y correspondencia con Mersenne.-A través de éste,Fermat in-
formaba de sus progresos matemáticos.
En el año 1641 Mersenne publicó un trabajo en el que dió a conocer
lo que desde entonces se conocería como los "números primos de
Mersenne".-Con dicho estudio demostró que :
"El número 2 elevado a la potencia P,(P=primo) restado la unidad ,
a veces, no siempre , es igual a un número primo:
2³ -1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 31 ; 2⁷ - 1 = 127 ;
pero (2¹¹ - 1 ) no es igual a número primo , es igual a 23 x 89
Desconocemos la demostración de Mersenne.- Una demostración
válida podría ser :
2 ⁿ - 1 = x ; 2 ⁿ = x + 1 ; multiplicado por 2 ⁿ, restamos la unidad ,
2²ⁿ -1 = 2 ⁿ x + 2 ⁿ - 1 ; 2²ⁿ - 1 = 2 ⁿ x + x , multiplicamos por 2 ⁿ
2³ⁿ - 1 = 2²ⁿ x + 2 ⁿ x + ( 2 ⁿ - 1 ).-Con esto se demuestra que:
1º.- ( 2 ʸⁿ - 1 ), no puede ser primo .
2º.-Que ( 2 ʸⁿ - 1 ) tendrá los divisores de 2 ⁿ - 1 y los de 2 ʸ - 1 ,
entre otros.
3º.-Que "2" elevado a una potencia "P",(P=primo),puede ser nú-
mero primo,conocido como "primo de Mersenne".
En cuanto a Pierre de Fermat , propuso la siguiente conjetura :
"El número "2" elevado a una potencia de "2" y sumado la unidad
es siempre número primo ".
Esta conjetura es válida para "2" elevado a las potencias 2,4,8 y 16
pero falla con "2" elevado a la potencia 32, más la unidad.
El fundamento de esta conjetura podría ser :
2 ⁿ + 1 = x ; multiplicado por 2² ⁿ ; 2 ³ⁿ + 2² ⁿ = 2 ² ⁿ x ;
2³ ⁿ = 2 ⁿ x - 2²ⁿ
2³ ⁿ + 1 = 2²ⁿ x - (2² ⁿ - 1 ) ; (2²ⁿ - 1) ≡ 0 ( módulo x ) , porque
2 ⁿ + 1 = x ;2²ⁿ + 2 ⁿ = 2 ⁿ x ; ( 2²ⁿ - 1) + ( 2 ⁿ + 1 ) = 2 ⁿ x
como 2ⁿ + 1 = x ; ( 2²ⁿ - 1) ≡ 0 ( módulo x ) , luego
2³ⁿ +1 ≡ 0 ( módulo x )
Como quiera que todo número no potencia de "2" ,es de la forma:
n = t ( 2 m + 1 ),siguiendo el mismo proceso llegaríamos a la con-
clusión de que :
1º.-( 2 ⁿ + 1 ) no puede ser número primo cuando n = t ( 2 m + 1 ),
es decir, "n" no es potencia de "2".
2º.-Que ( 2ⁿ + 1 ) tendrá como divisores los de 2 elevado a "t" más
la unidad.
3º.-Que ( 2ⁿ + 1 ) ,cuando "n" es potencia de "2",puede ser un nú-
mero primo.
Después de estas consideraciones, da la impresión de que los núme-
ros primos de Mersenne y los de Fermat, son fruto de la investiga-
ción de un mismo matemático.
Mersenne pudo ver pronto que "2" elevado a "P" menos uno , no ori-
ginaba número primo, en un número bajo, el 2047.
2¹¹ -1 = 2047 = 23 x 89
Fermat lo tenía más dificil,pues su conjetura falló en el número :
4.294.967.297 = 641 x 6.700.417
Por último podemos decir, si bien 2 ⁿ + 1 ,para todo valor de "n"
positivo , origina el producto de determinados números primos,
ejemplo:
2¹⁴+ 1 = 5 x 29 x 113
( 2 ⁿ -1 ) , para todo valor de "n", (de cero a infinito ), comprende el
producto de todos los números primos . Esto fué demostrado por el
matemático Fermat en su teorema :
2 elevado a "P-1",(P=primo) es congruente la unidad , módulo dicho
número primo .
domingo, 14 de septiembre de 2008
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2 comentarios:
fermat... me suena el nombre¡¡
Los numeros algo dificil e importante...
Un blog de numeros pero que no esta numerado¡¡¡
jajaja
genial diseño¡¡
Pasate por mi blog a escuchar mi programa de radio te estare agradecido:
republica libertaria de las tortugas
Si no sabes a quien votar en los premios20blogs en la categoría de música y te gusto mi programa de radio, no dudes en votar por mi¡¡¡
Exelente trabajo... felicitaciones, mis elogios por tu labor. Me encantan los números, y en un blog así aprendo mucho.
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